Se é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por , a massa de é definida por:
As coordenadas do centro de massa do sólido são definidas por:
e
Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dada por é o raio da estrela e é a distância do ponto ao centro da estrela. Calcule a massa da estrela)

Passo 1

O enunciado dá uma estrela esférica de raio R cuja densidade em cada ponto a uma distância rho do centro vale
f(rho)=C,e^-(rho/R)^3,
sendo C>0. Queremos calcular a massa
M = integral triplaW f(x,y,z),dx,dy,dz
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas e avaliação de um integral triplo radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhosinthetacosphi, y=rhosinthetasinphi, z=rhocostheta,
e o elemento de volume
dV = rho^2sintheta,drho,dtheta,dphi
Como f depende só de rho, a massa fica
M = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^R C,e^-(rho/R)^3,rho^2sintheta,drho,dtheta,dphi

Passo 3

Separe a parte angular da radial. A integral em theta e phi é
integral0^2pidphi;integral0^pisintheta,dtheta = 2picdot 2 = 4pi
Logo
M = C,(4pi);integral0^R rho^2,e^-(rho/R)^3,drho

Passo 4

Para calcular
I = integral0^R rho^2,e^-(rho/R)^3,drho
faça a troca de variável
u = l(tfracrhoRr)^3 Longrightarrow du = 3,rho^2R^3,drho Longrightarrow rho^2,drho = R^33,du
Quando rho=0, u=0; quando rho=R, u=1. Então
I = integral0^1 e^-u,R^33,du = R^33,l[-e^-ur]0^1 = R^33,l(1 - e^-1r)

Passo 5

Substituindo de volta em M, obtemos
M = C,(4pi),R^33,l(1 - e^-1r)

Resposta

M = 4pi C,R^33,l(1 - e^-1r)

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