Se
é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por
, a massa de
é definida por:
As coordenadas do centro de massa do sólido
são definidas por:
e
Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dada por é o raio da estrela e
é a distância do ponto ao centro da estrela. Calcule a massa da estrela)
Passo 1
O enunciado dá uma estrela esférica de raio
cuja densidade em cada ponto a uma distância
do centro vale
sendo
. Queremos calcular a massa
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas e avaliação de um integral triplo radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e o elemento de volume
Como
depende só de
, a massa fica
Passo 3
Separe a parte angular da radial. A integral em
e
é
Logo
Passo 4
Para calcular
faça a troca de variável
Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 5
Substituindo de volta em
, obtemos