Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
integralc^L y d s ; C: x=t^2, y=t ; 0 <= t <= 2 R:(112)(17 raiz17-1)

Passo 1

Então, temos um exercício de Cálculo que pede para calcular a integral de linha integralC y , ds, onde C é a curva definida por x = t^2 e y = t, com t variando de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e achar o elemento de comprimento ds para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa integral integralC y , ds. Aqui, y é a função que estamos integrando ao longo da curva C, e ds representa um pequeno pedaço de comprimento da curva. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar ds em termos de t.

Passo 3

A curva C está parametrizada por x = t^2 e y = t, onde t vai de 0 a 2. Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto na curva. Agora, vamos encontrar uma expressão para ds em função de t.

Passo 4

O elemento de comprimento ds é dado pela fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Então, precisamos calcular as derivadas dxdt e dydt.

Passo 5

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt (t^2) = 2t
dydt = ddt (t) = 1

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula de ds:
ds = raiz(2t)^2 + (1)^2 , dt = raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 7

Agora, vamos reescrever a integral de linha em termos de t:
integralC y , ds = integral0^2 y(t) cdot ds = integral0^2 t cdot raiz4t^2 + 1 , dt

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = 4t^2 + 1, então dudt = 8t, ou seja, dt = du8t.

Passo 9

Substituindo na integral:
integral0^2 t cdot raizu cdot du8t = 18 integralu(0)^u(2) raizu , du
onde u(0) = 4(0)^2 +1 =1 e u(2) = 4(2)^2 +1 =17

Passo 10

Calculando a integral:
18 integral1^17 u^1/2 , du = 18 [ 23 u^3/2 ]1^17 = 18 cdot 23 (17^3/2 -1 ) = 112 (17 raiz17 -1 )

Resposta

A integral de linha é igual a 112 (17 raiz17 -1 ).

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