Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Passo 1
Então, temos um exercício de Cálculo que pede para calcular a integral de linha
, onde
é a curva definida por
e
, com
variando de 0 a 2. Vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e achar o elemento de comprimento
para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa integral
. Aqui,
é a função que estamos integrando ao longo da curva
, e
representa um pequeno pedaço de comprimento da curva. Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar
em termos de
.
Passo 3
A curva
está parametrizada por
e
, onde
vai de 0 a 2. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto na curva. Agora, vamos encontrar uma expressão para
em função de
.
Passo 4
O elemento de comprimento
é dado pela fórmula:
Então, precisamos calcular as derivadas
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula de
:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a integral de linha em termos de
:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 9
Substituindo na integral:
onde
e
Passo 10
Calculando a integral:
Resposta
A integral de linha é igual a
.