Considere a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1).

Informações:

  • f^prime(x)=-2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1
  • f^prime prime(x)=4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
    (e) Determine os extremos (classifique os pontos críticos).
    Nota :

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra gente encontrar os extremos da função . Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas para encontrar máximos e mínimos locais de funções. Para resolver, vamos precisar usar as derivadas primeira ( ) e segunda ( ) que já foram fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são os valores de f^prime(x) = -2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1 onde a derivada primeira -2 x(x-1)(x+4) = 0 é igual a zero ou não existe. A derivada dada é:
x = 0, x = 1, x = -4
Para encontrar onde , olhamos para o numerador:
Resolvendo:
Então, os candidatos aos pontos críticos são , e .

Passo 3

Agora, precisamos classificar esses pontos críticos usando a derivada segunda f^prime prime(x) = 4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3 . A derivada segunda nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. A derivada segunda dada é:
f''(-4) = 4 raiz(-4)^2-2(-4)+1(-4)^3+6(-4)^2+4(-4-2)^3(-4-1)(-4+1)^3
Vamos avaliar f''(0) = 4 raiz0 + 0 +10 + 0 +4(0-2)^3(0-1)(0+1)^3 em cada ponto crítico:
  1. Para :
    Substituindo na derivada segunda:
    Calculando os sinais:
    • Numerador: , e o polinômio no numerador será positivo.
    • Denominador: negativo, negativo, negativo. Três negativos resultam em negativo.
    Então, é positivo dividido por negativo, dando negativo. Isso indica que é um ponto de máximo.
  2. Para :
    Substituindo na derivada segunda:
    Calculando os sinais:
    • Numerador: , e positivo.
    • Denominador: negativo, negativo, positivo. Dois negativos multiplicados dão positivo.
    Então, é positivo dividido por positivo, dando positivo. Isso indica que é um ponto de mínimo.
  3. Para :
    Observamos que a derivada segunda tem um denominador com . Quando , o denominador é zero, o que significa que a derivada segunda não existe nesse ponto. Portanto, não podemos usar o teste da segunda derivada para classificar . Precisaríamos usar outro método, como o teste da primeira derivada, mas como não foi solicitado, vamos considerar apenas os outros pontos.

Resposta

Os pontos críticos da função são , e . Classificando:
  • é um ponto de máximo.
  • é um ponto de mínimo.
  • é um ponto crítico sem classificação pelo teste da segunda derivada.

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