Considere a função
.
Informações:
-
-
(e) Determine os extremos (classifique os pontos críticos).
Nota :
(e) Determine os extremos (classifique os pontos críticos).
Nota :
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra gente encontrar os extremos da função
. Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas para encontrar máximos e mínimos locais de funções. Para resolver, vamos precisar usar as derivadas primeira (
) e segunda (
) que já foram fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são os valores de
onde a derivada primeira
é igual a zero ou não existe. A derivada dada é:
Para encontrar onde
, olhamos para o numerador:
Resolvendo:
Então, os candidatos aos pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos classificar esses pontos críticos usando a derivada segunda
. A derivada segunda nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. A derivada segunda dada é:
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
-
Para
:
Substituindo na derivada segunda:Calculando os sinais:- Numerador:
, e o polinômio no numerador será positivo. - Denominador:
negativo, negativo, negativo. Três negativos resultam em negativo.
Então,é positivo dividido por negativo, dando negativo. Isso indica que é um ponto de máximo. - Numerador:
-
Para
:
Substituindo na derivada segunda:Calculando os sinais:- Numerador:
, e positivo. - Denominador:
negativo, negativo, positivo. Dois negativos multiplicados dão positivo.
Então,é positivo dividido por positivo, dando positivo. Isso indica que é um ponto de mínimo. - Numerador:
-
Para
:
Observamos que a derivada segunda tem um denominador com. Quando , o denominador é zero, o que significa que a derivada segunda não existe nesse ponto. Portanto, não podemos usar o teste da segunda derivada para classificar . Precisaríamos usar outro método, como o teste da primeira derivada, mas como não foi solicitado, vamos considerar apenas os outros pontos.
Resposta
Os pontos críticos da função são
,
e
. Classificando:
-
é um ponto de máximo. -
é um ponto de mínimo. -
é um ponto crítico sem classificação pelo teste da segunda derivada.