1. integral d xraizx-1-raiz[4]x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt[4]{x-1}}$$
O conteúdo aqui é integração por substituição e depois divisão polinomial para simplificar a integral.

Passo 2

Para limpar a expressão, fazemos a substituição
u=raiz[4]x-1 Rightarrow x-1=u^4 e dx=4u^3,du

Passo 3

Substituindo na integral temos
[
\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt[4]{x-1}}
=\int \frac{4u3,du}{u2 - u}
=\int \frac{4u^2}{u-1},du.

Passo 4

Para integrar 4u^2/(u-1) fazemos divisão polinomial em u:
u^2=(u-1)(u+1)+1 Rightarrow u^2u-1=u+1+1u-1
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4u^2u-1=4l(u+1r)+4u-1

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
[
\int 4(u+1),du + \int \frac{4}{u-1},du
=4\Bigl(\frac{u^2}{2}+u\Bigr)+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C
=2u^2+4u+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C.

Passo 6

Finalmente voltamos à variável x usando u=raiz[4]x-1:
2l(raiz[4]x-1r)^2 +4raiz[4]x-1+4lnl|raiz[4]x-1-1r|+C =2raizx-1+4raiz[4]x-1+4lnl|raiz[4]x-1-1r|+C

Resposta

[2\sqrt{x-1}+4\sqrt[4]{x-1}+4\ln\bigl|\sqrt[4]{x-1}-1\bigr|+C]

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