Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt[4]{x-1}}$$
O conteúdo aqui é integração por substituição e depois divisão polinomial para simplificar a integral.
O conteúdo aqui é integração por substituição e depois divisão polinomial para simplificar a integral.
Passo 2
Para limpar a expressão, fazemos a substituição
Passo 3
Substituindo na integral temos
[
\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt[4]{x-1}}
=\int \frac{4u3,du}{u2 - u}
=\int \frac{4u^2}{u-1},du.
\int \frac{dx}{\sqrt{x-1}-\sqrt[4]{x-1}}
=\int \frac{4u3,du}{u2 - u}
=\int \frac{4u^2}{u-1},du.
Passo 4
Para integrar
fazemos divisão polinomial em
:
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Passo 5
Agora integramos termo a termo:
[
\int 4(u+1),du + \int \frac{4}{u-1},du
=4\Bigl(\frac{u^2}{2}+u\Bigr)+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C
=2u^2+4u+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C.
\int 4(u+1),du + \int \frac{4}{u-1},du
=4\Bigl(\frac{u^2}{2}+u\Bigr)+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C
=2u^2+4u+4\ln\bigl|u-1\bigr|+C.
Passo 6
Finalmente voltamos à variável
usando
:
Resposta
[2\sqrt{x-1}+4\sqrt[4]{x-1}+4\ln\bigl|\sqrt[4]{x-1}-1\bigr|+C]