Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
integralc x y e^y z d y ; C: x=t, y=t^2, z=t^3 ; 0 <= t <= 1 R: 25(e^m-1)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha da forma diferencial x,y,e^y z,dy ao longo da curva C dada pela parametrização x=t,;y=t^2,;z=t^3 para 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma P,dx+Q,dy+R,dz, mas só temos o termo Q,dy, então basta parametrizar e substituir.

Passo 2

Para começar a puxar a resolução, note que y=t^2 implica dydt=2tLongrightarrow dy=2t,dt Além disso, substituímos x=t e z=t^3 no integrando.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, temos: integralC x,y,e^y z,dy=integral0^1 l(tr)l(t^2r)e^(t^2)(t^3)cdot2t,dt=integral0^1 2t^4e^t^5,dt

Passo 4

Para resolver integral0^1 2t^4e^t^5,dt, fazemos a troca de variável u=t^5, du=5t^4dt. Assim, 2integral0^1 t^4e^t^5dt=25integralu(0)=0^u(1)=1e^u,du=25l(e^1-e^0r)

Resposta

25(e-1)

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