Seja
a região limitada pelas funções
, e as retas
.
Quando a região
, gira em torno do eixo
, produz um sólido
. Encontre o volume deste sólido.
Quando a região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o volume de um sólido chamado
, que é gerado quando a região
é girada em torno do eixo
. A região
é limitada pelas funções
,
, e pelas retas
e
. Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos cilindros, que nos ajuda a calcular volumes girando uma área ao redor de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está entre
e
, e entre
e
. Isso forma uma espécie de faixa simétrica em torno do eixo
. Quando giramos essa região em torno do eixo
, vamos formar um sólido
.
Passo 3
Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui (eixo
). A ideia é considerar cada “casa” cilíndrica formada pela rotação de uma vertical infinitesimal
, calcular o volume dela e integrar isso de
até
.
Passo 4
Vamos montar a fórmula usando o método dos cilindros. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação (eixo
) até a casca cilíndrica, e
é a altura da casca, que no nosso caso é a diferença entre
e
, ou seja,
.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Agora, aplicando os limites de integração de
a
:
Portanto, a integral vale
.
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.