(1,5) Seja R a região limitada pelas funções y=sen x, y=-sen x, e as retas x=0 e x=pi.
Quando a região R, gira em torno do eixo y, produz um sólido T. Encontre o volume deste sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o volume de um sólido chamado T, que é gerado quando a região R é girada em torno do eixo y. A região R é limitada pelas funções y = sin x, y = -sin x, e pelas retas x = 0 e x = pi. Para resolver isso, vamos usar um método de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos cilindros, que nos ajuda a calcular volumes girando uma área ao redor de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Ela está entre x = 0 e x = pi, e entre y = sin x e y = -sin x. Isso forma uma espécie de faixa simétrica em torno do eixo x. Quando giramos essa região em torno do eixo y, vamos formar um sólido T.

Passo 3

Para encontrar o volume desse sólido, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando giramos uma região em torno de um eixo vertical, como é o caso aqui (eixo y). A ideia é considerar cada “casa” cilíndrica formada pela rotação de uma vertical infinitesimal dx, calcular o volume dela e integrar isso de x = 0 até x = pi.

Passo 4

Vamos montar a fórmula usando o método dos cilindros. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Aqui, x é a distância do eixo de rotação (eixo y) até a casca cilíndrica, e h(x) é a altura da casca, que no nosso caso é a diferença entre y = sin x e y = -sin x, ou seja, h(x) = sin x - (-sin x) = 2sin x.
Então, substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^pi x cdot 2sin x , dx = 4pi integral0^pi x sin x , dx

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral:
4pi integral0^pi x sin x , dx
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes, que é baseado na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x ⇒  du = dx
  • dv = sin x , dx ⇒  v = -cos x
Aplicando a fórmula:
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C
Agora, aplicando os limites de integração de 0 a pi:
[ -x cos x + sin x ]0^pi = ( -pi cos pi + sin pi ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = (-pi (-1) + 0) - (0 + 0) = pi
Portanto, a integral vale pi.
Então, o volume é:
V = 4pi cdot pi = 4pi^2

Resposta

O volume do sólido T é 4pi^2 unidades cúbicas.

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