Responda apenas um dos itens a seguir
Calcule
, onde
é a região no interior da esfera centrada na origem de raio 2 que está acima de
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região específica dentro de uma esfera. A matéria envolvida aqui são integrais em coordenadas esféricas e a geometria de regiões no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar converter a integral para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ E $ onde vamos integrar. A região está dentro de uma esfera de raio 2 centrada na origem, ou seja, $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 $. Além disso, a região está acima de $ z = -\sqrt{x^2 + y^2} $. Isso significa que estamos considerando apenas os pontos na esfera que estão acima desse “cone” inferior.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
E o elemento de volume $ dV $ é dado por:
Além disso, na esfera de raio 2, temos $ r \leq 2 $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para os ângulos $ \theta $ e $ \phi $. O ângulo $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta ao redor do eixo $ z $. Já o ângulo $ \theta $ determina a elevação a partir do eixo $ z $.
A condição $ z \geq -\sqrt{x^2 + y^2} $ pode ser reescrita em coordenadas esféricas:
Resolvendo essa desigualdade:
Isso ocorre quando $ \theta + \frac{\pi}{4} $ está entre $ 0 $ e $ \pi $, ou seja, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{3\pi}{4} $.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Começamos integrando em $ \phi $:
Em seguida, integramos em $ \theta $:
Por fim, integramos em $ r $:
Fazendo a substituição $ u = 1 + r^3 $, temos $ du = 3r^2 dr $, ou seja, $ r^2 dr = \frac{du}{3} $. Assim:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 7
Agora, juntando todos os resultados:
Resposta
A integral avaliada é igual a $ \frac{4\pi}{3} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \ln 3 $.