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Calcule integral triplaE 11+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V, onde E é a região no interior da esfera centrada na origem de raio 2 que está acima de z=-raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região específica dentro de uma esfera. A matéria envolvida aqui são integrais em coordenadas esféricas e a geometria de regiões no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar converter a integral para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ E $ onde vamos integrar. A região está dentro de uma esfera de raio 2 centrada na origem, ou seja, $ x^2 + y^2 + z^2 \leq 4 $. Além disso, a região está acima de $ z = -\sqrt{x^2 + y^2} $. Isso significa que estamos considerando apenas os pontos na esfera que estão acima desse “cone” inferior.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
x = r sin theta cos phi y = r sin theta sin phi z = r cos theta
E o elemento de volume $ dV $ é dado por:
dV
Além disso, na esfera de raio 2, temos $ r \leq 2 $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para os ângulos $ \theta $ e $ \phi $. O ângulo $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para cobrir toda a volta ao redor do eixo $ z $. Já o ângulo $ \theta $ determina a elevação a partir do eixo $ z $.
A condição $ z \geq -\sqrt{x^2 + y^2} $ pode ser reescrita em coordenadas esféricas:
theta
Resolvendo essa desigualdade:
phi
Isso ocorre quando $ \theta + \frac{\pi}{4} $ está entre $ 0 $ e $ \pi $, ou seja, $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{3\pi}{4} $.

Passo 5

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE 11+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 dV = integral0^2pi integral0^3pi4 integral0^2 11 + r^3 cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Começamos integrando em $ \phi $:
phi
Em seguida, integramos em $ \theta $:
integral0^2pi dphi = 2pi
Por fim, integramos em $ r $:
theta
Fazendo a substituição $ u = 1 + r^3 $, temos $ du = 3r^2 dr $, ou seja, $ r^2 dr = \frac{du}{3} $. Assim:
integral0^3pi4 sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^3pi4 = -cos(3pi4) + cos(0) = -(-raiz22) + 1 = raiz22 + 1
Aplicando os limites de 0 a 2:
r

Passo 7

Agora, juntando todos os resultados:
integral triplaE 11+(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 dV = 2pi (1 + raiz22) cdot 23 ln 3 = 4pi3 (1 + raiz22) ln 3

Resposta

A integral avaliada é igual a $ \frac{4\pi}{3} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \ln 3 $.

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