Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata) (4 t^3 y^3-2 t y) d t+(3 t^4 y^2-t^2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é uma Equação Exata. Neste tipo de problema, a ideia é encontrar uma função que, quando derivada, nos dá os termos que estão multiplicando e . Para isso, vamos precisar verificar se a equação é mesmo exata e, se for, encontrar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos que multiplicam M(t, y) = 4 t^3 y^3 - 2 t y e N(t, y) = 3 t^4 y^2 - t^2 . Temos:
Para uma equação ser exata, as derivadas parciais de em relação a e de em relação a devem ser iguais. Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial Mpartial y = 12 t^3 y^2 - 2 t em relação a partial Npartial t = 12 t^3 y^2 - 2 t :
partial Mpartial y = partial Npartial t = 12 t^3 y^2 - 2 t
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Viu só? Ambas as derivadas são iguais:
Isso confirma que a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é uma equação exata, podemos encontrar uma função partial Psipartial t = M(t, y) tal que:
Psi(t, y) = integral (4 t^3 y^3 - 2 t y) , dt
Vamos integrar Psi(t, y) = y^3 integral 4 t^3 , dt - y integral 2 t , dt em relação a Psi(t, y) = y^3 ( t^4 ) - y ( t^2 ) + h(y) :
Psi(t, y) = t^4 y^3 - t^2 y + h(y)
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para determinar partial Psipartial y = N(t, y) , vamos usar a outra condição:
partial Psipartial y = 3 t^4 y^2 - t^2 + h'(y)
Calculando a derivada de 3 t^4 y^2 - t^2 + h'(y) = 3 t^4 y^2 - t^2 em relação a h'(y) = 0 :
h(y) = C
Igualando isso a :
Integrando :
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
t^4 y^3 - t^2 y = C
Onde é uma constante arbitrária.

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