Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata)
.
(Equação Exata)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é uma Equação Exata. Neste tipo de problema, a ideia é encontrar uma função que, quando derivada, nos dá os termos que estão multiplicando
e
. Para isso, vamos precisar verificar se a equação é mesmo exata e, se for, encontrar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos que multiplicam
e
. Temos:
Para uma equação ser exata, as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
devem ser iguais. Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Viu só? Ambas as derivadas são iguais:
Isso confirma que a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que é uma equação exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, vamos usar a outra condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando isso a
:
Integrando
:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.