Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(i)
.
(i)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha da função
ao longo da curva
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, calcular a derivada dessa parametrização e, por fim, aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. O enunciado já nos dá as equações paramétricas:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever o vetor posição
que representa a curva
:
Passo 4
O próximo passo é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o módulo da derivada
, que representa o diferencial de arco
:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que
, mas para simplificação direta:
No entanto, para facilitar o cálculo da integral, observamos que a expressão pode ser mantida como está para integração numérica ou métodos mais avançados, mas para nosso propósito, seguiremos com a expressão original.
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da integral de linha para funções escalares:
Substituindo
e
:
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, mas para o cálculo da integral, podemos considerar a expressão completa.
Passo 9
Finalmente, para resolver essa integral, geralmente utilizamos métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado, já que a expressão não se simplifica facilmente para integração analítica.
Resposta
A integral de linha é igual a aproximadamente
.