Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC x e^Downarrow d s, C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar
integralC x,e^z,ds
ao longo de C, que é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).
Conteúdo: integral de linha de campo escalar. Vamos parametrizar a reta, calcular ds e reescrever o integrando em função do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,;2t,;3t), tin[0,1],
pois em t=0 temos (0,0,0) e em t=1 obtemos (1,2,3).

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento
r'(t) = (1,2,3), llVert r'(t)rrVert = raiz1^2+2^2+3^2 = raiz14
Logo
ds = llVert r'(t)rrVert,dt = raiz14,dt

Passo 4

Em função de t, o integrando fica
x,e^z = t,e^3t,
portanto
integralC x,e^z,ds = integral0^1 l(t,e^3tr),raiz14,dt = raiz14,integral0^1 t,e^3t,dt

Passo 5

Para calcular integral0^1t,e^3t,dt, usamos integração por partes:
usemos
u = t, dv = e^3tdt ;Longrightarrow; du = dt, v = 13e^3t
Então
integral t,e^3tdt = u,v - integral v,du = t3,e^3t - integral 13e^3tdt = t3e^3t - 19e^3t + C
Avaliada de 0 a 1:
integral0^1t,e^3tdt = l(13e^3 - 19e^3r) - l(0 - 19e^0r) = 29e^3 + 19 = 2e^3+19

Resposta

integralC x,e^z,ds = raiz14;2e^3+19

Exercícios relacionados