Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
d yd x=5 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx=5y usando separação de variáveis. O conteúdo aqui é EDOs separáveis e vamos precisar isolar y de um lado e x do outro antes de integrar.

Passo 2

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por y (assumindo yneq0) e multiplicamos por dx. Assim obtemos a forma padrão de separação:
1y,dy=5,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Do lado esquerdo usamos a primitiva de 1/y, que é ln|y|, e do lado direito a primitiva de 5 em relação a x, que é 5x, mais a constante de integração C:
integral1y,dy=integral5,dxLongrightarrowln|y|=5x+C

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a exponenciação em ambos os lados. Lembrando que e^C é outra constante arbitrária (que chamaremos de C1) e pode assumir valor real não nulo:
|y|=e^5x+C=e^C e^5x=C1e^5x
Como podemos absorver o sinal de |y| na constante, a solução geral fica

Resposta

y=C e^{5x}, onde C é uma constante arbitrária real

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