Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=(x, y,-x y)
r(t)=(cos t, sin t, t)
0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,-xy) e a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t,sin t,t), 0<= t<=pi. Queremos calcular a integral de linha
integralCFcdot dr, usando a fórmula
integralCFcdot dr =integrala^bF(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização:
r'(t) =l(-sin t,;cos t,;1r)

Passo 3

Avaliar o campo ao longo da curva:
F(r(t)) =l(cos t,;sin t,;-cos tsin tr)

Passo 4

Fazer o produto escalar
F(r(t))cdotr'(t) =cos t;(-sin t)+sin t;(cos t)+(-cos tsin t);1 =-cos tsin t+sin tcos t-cos tsin t =-cos tsin t

Passo 5

Reescrever o integrando como função simples:
-cos tsin t=-tfrac12sin(2t)

Passo 6

Calcular a integral de 0 a pi:
integral0^pi-tfrac12sin(2t),dt =-tfrac12integral0^pisin(2t),dt =-tfrac12l[-tfrac12cos(2t)r]0^pi =tfrac14l[cos(2pi)-cos(0)r] =tfrac14(1-1) =0

Resposta

A integral de linha é 0.

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