Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x .
y=integral0^x t g t d t, 0 <= x <= pi3

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar em torno do eixo x a curva
y(x)=integral0^xt,tg t,dt 0<= x<= pi3
O conteúdo de matéria aqui é a fórmula da área de superfície de revolução em torno de x, que diz
S ;=; 2pi integrala^b y(x),raiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro precisamos de y'(x). Como
y(x)=integral0^xt,tg t,dt,
pelo teorema fundamental do cálculo temos
y'(x)=x,tg x

Passo 3

Substituindo em 1+(y')^2 obtemos
1+l(y'(x)r)^2 =1+l(x,tg xr)^2 =1+x^2,tg^2x
Portanto o fator raiz1+(y')^2 fica
raiz1+x^2,tg^2x

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da área de superfície:
S =2piintegral0^pi/3y(x),raiz1+l(y'(x)r)^2;dx =2piintegral0^pi/3l(integral0^xt,tg t,dtr), raiz1+x^2,tg^2x;dx

Resposta

S =2piintegral0^pi/3l(integral0^xt,tg t,dtr), raiz1+x^2,tg^2x;dx

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