Determine o campo vetorial de f(x, y)=x^2 y-y^3.
Represente o campo vetorial junto com as curvas de nível da função.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo vetorial associado à função
f(x,y)=x^2y - y^3
e em seguida representar esse campo junto com as curvas de nível de f. O conteúdo utilizado será o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que gera um campo vetorial a partir de uma função escalar.

Passo 2

Em teoria de funções de duas variáveis, o gradiente de f é definido por
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x(x,y), ;partial fpartial y(x,y)r)
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de f e é sempre perpendicular às curvas de nível de f.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2y - y^3:
partial fpartial x(x,y) = 2x,y,
partial fpartial y(x,y) = x^2 - 3y^2

Passo 4

Logo, o campo vetorial gradiente de f é
nabla f(x,y) = l(2xy,;x^2-3y^2r)

Passo 5

Para representar graficamente:
  1. Escolhemos alguns valores de nível c, por exemplo c=-2,-1,0,1,2, e traçamos as curvas implícitas x^2y - y^3 = c
  2. Em cada ponto (x,y) do plano, desenhamos um vetor cuja direção e módulo vêm de
    nabla f(x,y) = (2xy,,x^2-3y^2).
    Esses vetores são sempre perpendiculares às curvas de nível e apontam para a região de f maior.

Resposta

nabla f(x,y) = l(2xy,;x^2-3y^2r)

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