Determine o campo vetorial de
.
Represente o campo vetorial junto com as curvas de nível da função.
Represente o campo vetorial junto com as curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o campo vetorial associado à função
e em seguida representar esse campo junto com as curvas de nível de
. O conteúdo utilizado será o conceito de gradiente em cálculo multivariável, que gera um campo vetorial a partir de uma função escalar.
Passo 2
Em teoria de funções de duas variáveis, o gradiente de
é definido por
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
e é sempre perpendicular às curvas de nível de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Logo, o campo vetorial gradiente de
é
Passo 5
Para representar graficamente:
- Escolhemos alguns valores de nível
, por exemplo , e traçamos as curvas implícitas - Em cada ponto
do plano, desenhamos um vetor cuja direção e módulo vêm de
.
Esses vetores são sempre perpendiculares às curvas de nível e apontam para a região demaior.