Calcule a integral de linha onde \gamma é a curva dada: \int_{\gamma}\left(x^{2} y^{3}-\sqrt{x}\right) d y, \gamma: y=\sqrt{x} de (1,1) a (4,2)
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma}\left(x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\right)\,dy
onde a curva \gamma é o gráfico
y=\sqrt{x}
do ponto (1,1) até o ponto (4,2).
O que o problema pede é calcular o valor numérico dessa integral de linha ao longo da curva dada.
Informações relevantes fornecidas:
A função a integrar em relação a y é \;x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\;.
A curva é dada explicitamente por \;y=\sqrt{x}\;, portanto y é uma função de x.
O trecho da curva vai do ponto com x=1 até o ponto com x=4 (correspondendo a (1,1) e (4,2)).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando a ferramenta que vamos usar): quando a curva é o gráfico y=g(x) e queremos uma integral do tipo \int_{\gamma}F(x,y)\,dy, podemos escrever y como função de uma variável parâmetro (a opção mais simples é usar x como parâmetro) e substituir dy = \dfrac{dy}{dx}\,dx. A fórmula geral que eu vou usar é:
\text{Se }x=t,\;y=g(t),\;t\in[a,b],\text{ então }\int_{\gamma}F(x,y)\,dy=\int_{a}^{b}F\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t)\,dt.
Aqui:
t é o parâmetro (escolho t=x por ser simples),
y'(t) é a derivada de y em relação a t,
a e b são os valores extremos do parâmetro que correspondem aos pontos inicial e final da curva.
Vou aplicar isso com t variando de 1 a 4, porque esses são os x-coordenados dos pontos inicial e final.