Calcule a integral de linha onde \gamma é a curva dada:
\int_{\gamma}\left(x^{2} y^{3}-\sqrt{x}\right) d y, \gamma: y=\sqrt{x} de (1,1) a (4,2)

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma}\left(x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\right)\,dy
onde a curva \gamma é o gráfico
y=\sqrt{x}
do ponto (1,1) até o ponto (4,2).
O que o problema pede é calcular o valor numérico dessa integral de linha ao longo da curva dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar em relação a y é \;x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\;.
  • A curva é dada explicitamente por \;y=\sqrt{x}\;, portanto y é uma função de x.
  • O trecho da curva vai do ponto com x=1 até o ponto com x=4 (correspondendo a (1,1) e (4,2)).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando a ferramenta que vamos usar): quando a curva é o gráfico y=g(x) e queremos uma integral do tipo \int_{\gamma}F(x,y)\,dy, podemos escrever y como função de uma variável parâmetro (a opção mais simples é usar x como parâmetro) e substituir dy = \dfrac{dy}{dx}\,dx. A fórmula geral que eu vou usar é:
\text{Se }x=t,\;y=g(t),\;t\in[a,b],\text{ então }\int_{\gamma}F(x,y)\,dy=\int_{a}^{b}F\big(x(t),y(t)\big)\,y'(t)\,dt.ã
Aqui:
  • t é o parâmetro (escolho t=x por ser simples),
  • y'(t) é a derivada de y em relação a t,
  • a e b são os valores extremos do parâmetro que correspondem aos pontos inicial e final da curva.
Vou aplicar isso com t variando de 1 a 4, porque esses são os x-coordenados dos pontos inicial e final.

Passo 3

Parametrização concreta e cálculo de dy.
Escolho t tal que
x=t,\qquad y=\sqrt{t}=t^{1/2},\qquad t\in[1,4].
Calculo a derivada y'(t):
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{1/2}\big)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Assim dy = y'(t)\,dt = \dfrac{1}{2}t^{-1/2}\,dt.

Passo 4

Substituição do integrando e simplificação algébrica.
A expressão dentro da integral é \;x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\;. Substituindo x=t e y=t^{1/2} temos:
x^{2}y^{3}-\sqrt{x}=t^{2}\big(t^{1/2}\big)^{3}-t^{1/2}=t^{2}\cdot t^{3/2}-t^{1/2}=t^{7/2}-t^{1/2}.
Agora multiplico pelo dy que é \dfrac{1}{2}t^{-1/2}\,dt:
\big(t^{7/2}-t^{1/2}\big)\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}\,dt
e uso as propriedades de potências: t^{7/2}\cdot t^{-1/2}=t^{(7/2-1/2)}=t^{3} e t^{1/2}\cdot t^{-1/2}=t^{0}=1. Portanto o integrando fica
\frac{1}{2}\big(t^{3}-1\big)\,dt.

Passo 5

Agora escrevo a integral definida em t com os limites t=1 até t=4:
\int_{\gamma}\left(x^{2}y^{3}-\sqrt{x}\right)\,dy = \int_{1}^{4}\frac{1}{2}\big(t^{3}-1\big)\,dt.
Posso tirar a constante \dfrac{1}{2} para fora:
\frac{1}{2}\int_{1}^{4}\big(t^{3}-1\big)\,dt.
Calculo agora as primitivas termo a termo:
  • Uma primitiva de t^{3} é \dfrac{1}{4}t^{4} (pois \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{4}t^{4}\big)=t^{3}),
  • Uma primitiva de 1 é t.
Logo a primitiva de t^{3}-1 é \dfrac{1}{4}t^{4}-t. Aplico a avaliação nos limites:
\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{4}t^{4}-t\right)\Big|_{1}^{4}\right].

Passo 6

Avaliação numérica da primitiva nos limites (sem declarar a resposta final aqui, apenas desenvolvendo a conta):
Calculo em t=4:
\frac{1}{4}\cdot 4^{4}-4=\frac{1}{4}\cdot 256-4=64-4=60.
Calculo em t=1:
\frac{1}{4}\cdot 1^{4}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}.
Subtraindo (valor em 4 menos valor em 1) dá
60-\left(-\frac{3}{4}\right)=60+\frac{3}{4}=\frac{243}{4}.
Portanto a integral é
\frac{1}{2}\cdot\frac{243}{4}.

Resposta

\dfrac{243}{8}

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