Calcule a integral de linha, sendo que C é a curva dada. \int_{C}(x-y) d x+x d y, \quad C é a metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=1 percorrida no sentido anti-horário
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x-y)\,dx + x\,dy,
onde C é a metade superior da circunferência \;x^{2}+y^{2}=1\; percorrida no sentido anti-horário. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva C é a semicircunferência superior de raio 1, isto é, o conjunto de pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}=1 e y\ge 0.
O sentido anti-horário na semicircunferência superior corresponde a ir de (1,0) até (-1,0).
A integral é da forma \displaystyle\int_{C}P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Método escolhido: parametrização da curva e uso da fórmula de integral de linha para campos de duas componentes. Vou explicar a fórmula com calma.
x(t) e y(t) descrevem a posição ao longo da curva quando o parâmetro varia de a a b.
x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t, que aparece porque dx = x'(t)\,dt; idem para y'(t).
Escolhi esse método porque a semicircunferência tem uma parametrização trigonométrica simples e direta.
Passo 3
Parametrização da semicircunferência superior (sentido anti-horário):
Verificação rápida do sentido: para t=0 temos (1,0) e para t=\pi temos (-1,0), e ao aumentar t passamos por (0,1), ou seja, percorremos a metade superior no sentido anti-horário — correto.
Comentário rápido sobre alternativa: não usamos o Teorema de Green porque ele exige curva fechada. Poderíamos fechar o arco por uma linha reta e aplicar Green, mas isso é desnecessário aqui já que a parametrização direta é simples e rápida.