Calcule a integral de linha, sendo que C é a curva dada.
\int_{C}(x-y) d x+x d y, \quad C é a metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=1 percorrida no sentido anti-horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x-y)\,dx + x\,dy,
onde C é a metade superior da circunferência \;x^{2}+y^{2}=1\; percorrida no sentido anti-horário. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é a semicircunferência superior de raio 1, isto é, o conjunto de pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}=1 e y\ge 0.
  • O sentido anti-horário na semicircunferência superior corresponde a ir de (1,0) até (-1,0).
  • A integral é da forma \displaystyle\int_{C}P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Método escolhido: parametrização da curva e uso da fórmula de integral de linha para campos de duas componentes. Vou explicar a fórmula com calma.
Se uma curva C é dada por uma parametrização
x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
então a integral
\int_{C}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy
pode ser escrita como integral em t:
\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui:
  • x(t) e y(t) descrevem a posição ao longo da curva quando o parâmetro varia de a a b.
  • x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t, que aparece porque dx = x'(t)\,dt; idem para y'(t).
    Escolhi esse método porque a semicircunferência tem uma parametrização trigonométrica simples e direta.

Passo 3

Parametrização da semicircunferência superior (sentido anti-horário):
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,\pi].
Verificação rápida do sentido: para t=0 temos (1,0) e para t=\pi temos (-1,0), e ao aumentar t passamos por (0,1), ou seja, percorremos a metade superior no sentido anti-horário — correto.
Agora calculamos dx e dy:
dx = x'(t)\,dt = (-\sin t)\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = (\cos t)\,dt.

Passo 4

Substituímos x(t),y(t),dx,dy na integral. Primeiro escrevo P e Q avaliados na parametrização:
P(x(t),y(t)) = x(t)-y(t) = \cos t - \sin t,
Q(x(t),y(t)) = x(t) = \cos t.
A integral se torna
\int_{0}^{\pi}\bigl((\cos t-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cdot\cos t\bigr)\,dt.
Agora desenvolvo passo a passo os produtos dentro da integral:
(\cos t-\sin t)(-\sin t) = -\cos t\sin t + \sin^{2}t,
e
\cos t\cdot\cos t = \cos^{2}t.
Somando:
-\cos t\sin t + \sin^{2}t + \cos^{2}t = -\cos t\sin t + (\sin^{2}t+\cos^{2}t).
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 (identidade trigonométrica fundamental), o integrando simplifica para
1 - \cos t\sin t.
Portanto a integral é
\int_{0}^{\pi}\bigl(1 - \cos t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calculo da integral em duas partes:
\int_{0}^{\pi}1\,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = \pi.
Agora a parte com produto trigonométrico:
\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\,dt.
Faço a substituição u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\,dt = \int_{u(0)}^{u(\pi)} u\,du.
Como u(0)=\sin 0=0 e u(\pi)=\sin\pi=0, os limites são ambos 0. Mesmo sem avaliar diretamente os limites, podemos integrar:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2},
então
\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\,dt = \left.\frac{\sin^{2}t}{2}\right|_{0}^{\pi} = \frac{\sin^{2}\pi}{2}-\frac{\sin^{2}0}{2} = 0-0=0.
Portanto a contribuição do termo -\cos t\sin t é zero:
-\int_{0}^{\pi}\cos t\sin t\,dt = 0.

Passo 6

Somando as duas partes obtidas:
\int_{0}^{\pi}\bigl(1 - \cos t\sin t\bigr)\,dt = \pi + 0 = \pi.
Comentário rápido sobre alternativa: não usamos o Teorema de Green porque ele exige curva fechada. Poderíamos fechar o arco por uma linha reta e aplicar Green, mas isso é desnecessário aqui já que a parametrização direta é simples e rápida.

Resposta

\pi

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