Integre f(x, y, z)=x+\sqrt{y}-z^{2} sobre o caminho C entre (0,0,0) e (1,1,1), sendo C=C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} dado por
\begin{aligned} & C_{1}: \vec{r}(t)=t \vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 \\\ & C_{2}: \vec{r}(t)=t \vec{j}+\vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 \\\ & C_{3}: \vec{r}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral de uma função escalar f(x,y,z)=x+\sqrt{y}-z^{2} ao longo do caminho C que vai de (0,0,0) até (1,1,1) e que é composto por três segmentos:
\begin{aligned} & C_{1}: \vec{r}(t)=t\vec{k}, \quad 0\le t\le 1,\\\ & C_{2}: \vec{r}(t)=t\vec{j}+\vec{k}, \quad 0\le t\le 1,\\\ & C_{3}: \vec{r}(t)=t\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, \quad 0\le t\le 1. \end{aligned}
Informações relevantes que temos:
f(x,y,z)=x+\sqrt{y}-z^{2},
o caminho C é a união C=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}, cada segmento está parametrizado por t em [0,1] e os pontos inicial e final de C são (0,0,0) e (1,1,1).

Passo 2

Explicando a teoria necessária — o que significa "integrar f sobre o caminho C". Quando temos uma função escalar f e um caminho parametrizado \vec{r}(t), a integral de linha de f ao longo de C com respeito ao comprimento de arco é dada por
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f(\vec{r}(t))\,\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
Aqui:
  • \vec{r}(t) é a parametrização do segmento do caminho, com t\in[a,b].
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial em relação a t.
  • \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma (módulo) de \vec{r}\,'(t), e representa o elemento de comprimento de arco por unidade de t, ou seja ds=\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
  • f(\vec{r}(t)) significa substituir x,y,z pelas coordenadas da parametrização.
Como C é a união de três segmentos, a integral total é a soma das integrais em cada segmento:
\int_{C} f\,ds = \int_{C_{1}} f\,ds + \int_{C_{2}} f\,ds + \int_{C_{3}} f\,ds.
Uma observação útil: se em um segmento \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=1, então ds=dt e a integral fica mais simples.

Passo 3

Calculemos a contribuição do primeiro segmento C_{1}.
Parametrização (dada): \vec{r}(t)=t\vec{k}, 0\le t\le 1.
Isso significa:
x(t)=0,\quad y(t)=0,\quad z(t)=t.
Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\vec{k}\quad\Rightarrow\quad \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=1.
Substituindo em f:
f(\vec{r}(t))=x(t)+\sqrt{y(t)}-z(t)^{2}=0+\sqrt{0}-t^{2}=-t^{2}.
Portanto a integral sobre C_{1} é
\int_{C_{1}} f\,ds = \int_{0}^{1} \big(-t^{2}\big)\cdot 1\,dt = \int_{0}^{1} -t^{2}\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{1} -t^{2}\,dt = -\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Calculemos a contribuição do segundo segmento C_{2}.
Parametrização (dada): \vec{r}(t)=t\vec{j}+\vec{k}, 0\le t\le 1.
Isso implica:
x(t)=0,\quad y(t)=t,\quad z(t)=1.
Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\vec{j}\quad\Rightarrow\quad \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=1.
Substituindo em f:
f(\vec{r}(t))=0+\sqrt{t}-1=\sqrt{t}-1.
Assim
\int_{C_{2}} f\,ds = \int_{0}^{1} \big(\sqrt{t}-1\big)\cdot 1\,dt = \int_{0}^{1} \big(t^{1/2}-1\big)\,dt.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} t^{1/2}\,dt = \left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3},
\int_{0}^{1} 1\,dt = 1.
Logo
\int_{C_{2}} f\,ds = \frac{2}{3}-1 = -\frac{1}{3}.

Passo 5

Calculemos a contribuição do terceiro segmento C_{3}.
Parametrização (dada): \vec{r}(t)=t\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}, 0\le t\le 1.
Isso dá:
x(t)=t,\quad y(t)=1,\quad z(t)=1.
Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\vec{i}\quad\Rightarrow\quad \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=1.
Substituindo em f:
f(\vec{r}(t))=t+\sqrt{1}-1 = t+1-1 = t.
Assim
\int_{C_{3}} f\,ds = \int_{0}^{1} t\cdot 1\,dt = \int_{0}^{1} t\,dt.
Calcule:
\int_{0}^{1} t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.

Passo 6

Somando as três contribuições para obter a integral total sobre C:
\int_{C} f\,ds = \int_{C_{1}} f\,ds + \int_{C_{2}} f\,ds + \int_{C_{3}} f\,ds = -\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2}.
Fazendo a conta:
-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = -\frac{2}{3}+\frac{1}{2} = -\frac{4}{6}+\frac{3}{6} = -\frac{1}{6}.
Pequeno incentivo: estamos quase lá — com cuidado nas substituições e em cada integral, o resto é só soma.

Resposta

-\frac{1}{6}

Exercícios relacionados