O enunciado pede que a gente calcule a integral de uma função escalar f(x,y,z)=x+\sqrt{y}-z^{2} ao longo do caminho C que vai de (0,0,0) até (1,1,1) e que é composto por três segmentos:
o caminho C é a união C=C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}, cada segmento está parametrizado por t em [0,1] e os pontos inicial e final de C são (0,0,0) e (1,1,1).
Passo 2
Explicando a teoria necessária — o que significa "integrar f sobre o caminho C". Quando temos uma função escalar f e um caminho parametrizado \vec{r}(t), a integral de linha de f ao longo de C com respeito ao comprimento de arco é dada por
\vec{r}(t) é a parametrização do segmento do caminho, com t\in[a,b].
\vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial em relação a t.
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma (módulo) de \vec{r}\,'(t), e representa o elemento de comprimento de arco por unidade de t, ou seja ds=\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
f(\vec{r}(t)) significa substituir x,y,z pelas coordenadas da parametrização.
Como C é a união de três segmentos, a integral total é a soma das integrais em cada segmento: