Esboce a curva usando as equações paramétricas. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada pelas equações paramétricas
no intervalo
e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Informações do enunciado:
e
para
.
Informações do enunciado:
Passo 2
Eliminando o parâmetro para achar a equação no plano
. Substituímos
(já que
) na expressão para
:
Elevando ao quadrado e usando
obtemos a relação clássica:
Portanto a curva satisfaz a equação implícita
com a restrição natural vinda de
:
Passo 3
Interpretação geométrica da equação
. Esta é a conhecida semicúbica (às vezes chamada de semicúbica parabólica), definida apenas para
. Tem duas ramificações (uma com
e outra com
) que se encontram na origem
, formando uma cúspide (um “cusp”) apontando para a direita.
Passo 4
Calculando a inclinação da curva em termos de
(para saber a orientação/tangente): usamos a regra para curvas paramétricas,
onde
e
(derivando
e
em relação a
). Logo, para
,
Isto significa que a inclinação da tangente é proporcional a
: quando
a tangente tem inclinação negativa, quando
a tangente tem inclinação positiva. Em
temos forma indeterminada
pela expressão direta, mas pelo comportamento paramétrico vemos que a tangente na origem é horizontal (veja passo seguinte).
Passo 5
Comportamento próximo à origem e tipo de singularidade: como
, ao aproximar
a inclinação tende a
. Assim ambas as ramificações (a de
e a de
) chegam à origem com tangente horizontal. Isso caracteriza uma cúspide com direção para a direita (a curva se fecha na origem com tangente horizontal).
Passo 6
Escolhendo pontos para desenhar (faça uma marcação no papel para cada ponto e depois ligue suavemente): calcule alguns pontos com valores fáceis de
:
portanto ponto
.
ponto
.
ponto
.
ponto
.
ponto
.
ponto
.
ponto
.
No papel, marque esses pontos e observe: à medida que vai de
a
a curva vai de
em direção à origem; para
de
a
a curva sai da origem para
.
No papel, marque esses pontos e observe: à medida que
Passo 7
Como traçar o esboço e indicar a direção do parâmetro: primeiro desenhe o eixo
e
e marque os pontos listados. Ligue suavemente
passando por
e aproximando-se de
com uma curva que fica cada vez mais horizontal ao chegar em
. Depois continue a partir de
para cima, passando por
até
. A curva tem forma de duas “ramificações” simétricas verticalmente que se encontram na origem com tangente horizontal. Finalmente, desenhe uma seta no sentido em que
aumenta: uma seta indo de
para
e depois continuando de
para
— ou seja, a direção é de baixo para cima passando pela origem.
Passo 8
Resumo intuitivo (para lembrar na prova): a curva é a porção de
com
. Tem cúspide na origem com tangente horizontal. O parâmetro descreve a curva de baixo para cima:
começa em
, vai para
quando
e continua até
quando
.
Resposta
Curva:
.
Pontos notáveis: .
Direção quando aumenta: de
para
e depois para
(seta apontando de baixo para cima através da origem).
Pontos notáveis:
Direção quando