Esboce a curva usando as equações paramétricas. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=t^{2}, y=t^{3}, \quad-2 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pelas equações paramétricas \;x=t^{2},\;y=t^{3}\; no intervalo \;-2\le t\le2\; e indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro t aumenta.
Informações do enunciado:
\;x=t^{2} e \;y=t^{3} para \;t\in[-2,2].

Passo 2

Eliminando o parâmetro para achar a equação no plano xy. Substituímos t^{2}=x (já que \;x=t^{2}) na expressão para y:
y=t^{3}=t\cdot t^{2}=t\cdot x.
Elevando ao quadrado e usando t^{2}=x obtemos a relação clássica:
y^{2}=(t^{3})^{2}=t^{6}=(t^{2})^{3}=x^{3}.
Portanto a curva satisfaz a equação implícita
y^{2}=x^{3},
com a restrição natural vinda de \;x=t^{2}:
x\ge0.

Passo 3

Interpretação geométrica da equação \;y^{2}=x^{3}. Esta é a conhecida semicúbica (às vezes chamada de semicúbica parabólica), definida apenas para \;x\ge0. Tem duas ramificações (uma com y\ge0 e outra com y\le0) que se encontram na origem (0,0), formando uma cúspide (um “cusp”) apontando para a direita.

Passo 4

Calculando a inclinação da curva em termos de t (para saber a orientação/tangente): usamos a regra para curvas paramétricas,
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}},
onde \frac{dy}{dt}=3t^{2} e \frac{dx}{dt}=2t (derivando \;y=t^{3} e \;x=t^{2} em relação a t). Logo, para t\neq0,
\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}}{2t}=\frac{3}{2}t.
Isto significa que a inclinação da tangente é proporcional a t: quando t<0 a tangente tem inclinação negativa, quando t>0 a tangente tem inclinação positiva. Em t=0 temos forma indeterminada 0/0 pela expressão direta, mas pelo comportamento paramétrico vemos que a tangente na origem é horizontal (veja passo seguinte).

Passo 5

Comportamento próximo à origem e tipo de singularidade: como \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}t, ao aproximar t\to0 a inclinação tende a 0. Assim ambas as ramificações (a de t<0 e a de t>0) chegam à origem com tangente horizontal. Isso caracteriza uma cúspide com direção para a direita (a curva se fecha na origem com tangente horizontal).

Passo 6

Escolhendo pontos para desenhar (faça uma marcação no papel para cada ponto e depois ligue suavemente): calcule alguns pontos com valores fáceis de t:
\;t=-2:\;x=4,\;y=-8 portanto ponto (4,-8).
\;t=-1:\;x=1,\;y=-1 ponto (1,-1).
\;t=-\tfrac12:\;x=\tfrac14,\;y=-\tfrac18 ponto \bigl(\tfrac14,-\tfrac18\bigr).
\;t=0:\;x=0,\;y=0 ponto (0,0).
\;t=\tfrac12:\;x=\tfrac14,\;y=\tfrac18 ponto \bigl(\tfrac14,\tfrac18\bigr).
\;t=1:\;x=1,\;y=1 ponto (1,1).
\;t=2:\;x=4,\;y=8 ponto (4,8).
No papel, marque esses pontos e observe: à medida que t vai de -2 a 0 a curva vai de (4,-8) em direção à origem; para t de 0 a 2 a curva sai da origem para (4,8).

Passo 7

Como traçar o esboço e indicar a direção do parâmetro: primeiro desenhe o eixo x e y e marque os pontos listados. Ligue suavemente (4,-8) passando por (1,-1) e aproximando-se de (0,0) com uma curva que fica cada vez mais horizontal ao chegar em (0,0). Depois continue a partir de (0,0) para cima, passando por (1,1) até (4,8). A curva tem forma de duas “ramificações” simétricas verticalmente que se encontram na origem com tangente horizontal. Finalmente, desenhe uma seta no sentido em que t aumenta: uma seta indo de (4,-8) para (0,0) e depois continuando de (0,0) para (4,8) — ou seja, a direção é de baixo para cima passando pela origem.

Passo 8

Resumo intuitivo (para lembrar na prova): a curva é a porção de \;y^{2}=x^{3} com \;x\ge0. Tem cúspide na origem com tangente horizontal. O parâmetro descreve a curva de baixo para cima: \;t=-2 começa em (4,-8), vai para (0,0) quando t=0 e continua até (4,8) quando t=2.

Resposta

Curva: \;y^{2}=x^{3},\;x\ge0.
Pontos notáveis: (4,-8),\;(1,-1),\;\bigl(\tfrac14,-\tfrac18\bigr),\;(0,0),\;\bigl(\tfrac14,\tfrac18\bigr),\;(1,1),\;(4,8).
Direção quando t aumenta: de (4,-8) para (0,0) e depois para (4,8) (seta apontando de baixo para cima através da origem).

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