Encontre a solução geral da equação:
RA:
RA:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais:
com
A pergunta é: encontrar a solução geral que satisfaça a equação e essas condições iniciais (ou seja, a solução particular do problema de valor inicial).
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes numa equação algébrica chamada equação característica. Isso é feito supondo uma solução do tipo
, onde
é uma constante a determinar. Substituindo
na equação, obtemos a equação característica em
.
Explicando por que: para
temos
e
. Como
nunca é zero, os coeficientes do polinômio em
devem se anular, o que nos dá a equação para
.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo as derivadas:
Agora resolvemos esse polinômio quadrático. Observando, reconhecemos que é um quadrado perfeito:
Portanto a equação característica tem uma raiz real dupla:
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real
simples, a solução geral tem termo
. Quando a raiz
tem multiplicidade
, precisamos de duas soluções linearmente independentes; elas são
e
. Assim, para uma raiz dupla
, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias. Breve justificativa intuitiva: multiplicidade gera fatores polinomiais em
multiplicando
para obter soluções independentes.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro avaliamos
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
Em seguida precisamos de
. Derivando
, usamos a regra do produto. Passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Pelo produto,
Fatorando
,
Passo 6
Agora avaliamos em
:
Sabemos que
e que
, então
Passo 7
Substituindo
e
na forma geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
Podemos fazer uma checagem rápida:
e
, então
, como desejado. Além disso, essa função satisfaz a equação diferencial (pela construção via raízes características).