Encontre a solução geral da equação:
RA:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais:
y'' - 6y' + 9y = 0,
com
y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
A pergunta é: encontrar a solução geral que satisfaça a equação e essas condições iniciais (ou seja, a solução particular do problema de valor inicial).

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes numa equação algébrica chamada equação característica. Isso é feito supondo uma solução do tipo y=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Substituindo y=e^{rx} na equação, obtemos a equação característica em r.
Explicando por que: para y=e^{rx} temos y'=r e^{rx} e y''=r^{2} e^{rx}. Como e^{rx} nunca é zero, os coeficientes do polinômio em r devem se anular, o que nos dá a equação para r.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo as derivadas:
r^{2} - 6r + 9 = 0.
Agora resolvemos esse polinômio quadrático. Observando, reconhecemos que é um quadrado perfeito:
r^{2} - 6r + 9 = (r-3)^{2}.
Portanto a equação característica tem uma raiz real dupla:
r=3 \quad\text{(multiplicidade 2).}

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real r simples, a solução geral tem termo C_{1}e^{rx}. Quando a raiz r tem multiplicidade 2, precisamos de duas soluções linearmente independentes; elas são e^{rx} e x e^{rx}. Assim, para uma raiz dupla r=3, a forma geral da solução é
y(x) = \bigl(C_{1} + C_{2}x\bigr)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Breve justificativa intuitiva: multiplicidade gera fatores polinomiais em x multiplicando e^{rx} para obter soluções independentes.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliamos y(0). Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = \bigl(C_{1} + C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0} = C_{1}.
Como y(0)=0, obtemos
C_{1}=0.
Em seguida precisamos de y'(x). Derivando y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{3x}, usamos a regra do produto. Passo a passo:
  • Derivada de \bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr) é C_{2}.
  • Derivada de e^{3x} é 3e^{3x}.
    Pelo produto,
y'(x) = C_{2}e^{3x} + \bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)\cdot 3e^{3x}.
Fatorando e^{3x},
y'(x) = e^{3x}\bigl(C_{2} + 3C_{1} + 3C_{2}x\bigr).

Passo 6

Agora avaliamos em x=0:
y'(0) = e^{0}\bigl(C_{2} + 3C_{1} + 3C_{2}\cdot 0\bigr) = C_{2} + 3C_{1}.
Sabemos que y'(0)=2 e que C_{1}=0, então
C_{2} + 3\cdot 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 7

Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=2 na forma geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = 2x e^{3x}.
Podemos fazer uma checagem rápida: y(0)=0 e y'(x)=2e^{3x}+6x e^{3x}=e^{3x}(2+6x), então y'(0)=2, como desejado. Além disso, essa função satisfaz a equação diferencial (pela construção via raízes características).

Resposta

y(x)=2x e^{3x}

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