Calcule a integral de linha de \vec{F}=2 x y^{3} \vec{i}+3 x^{2} y^{2} \vec{j} ao longo de 3 caminhos distintos começando pelo ponto (1,1) e terminando em (1,-1) e mostre que os resultados são iguais. Escolha um caminho fechado no plano x y e mostre que a integral de linha desse campo neste caminho é zero.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}=2 x y^{3}\,\vec{i}+3 x^{2} y^{2}\,\vec{j} e pede o seguinte:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} entre o ponto inicial (1,1) e o ponto final (1,-1) ao longo de três caminhos distintos e mostrar que os resultados são iguais.
  • Escolher um caminho fechado no plano xy e mostrar que a integral de linha do campo ao longo desse caminho fechado é zero.
Informações relevantes dadas:
  • O campo em componentes escalares é P(x,y)=2 x y^{3} e Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}.
  • Os pontos inicial e final são (1,1) e (1,-1), respectivamente.

Passo 2

Primeira ideia: verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}). Se for conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos extremos (independente do caminho), e a integral em qualquer laço fechado será zero.
Teste de conservatividade em \mathbb{R}^2: para \vec{F}=(P,Q) com P e Q de classe C^1, um teste necessário (e suficiente em \mathbb{R}^2 simplesmente conexo) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x y^{3}\big)=2x\cdot 3 y^{2}=6 x y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3 x^{2} y^{2}\big)=3\cdot 2 x\cdot y^{2}=6 x y^{2}.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo o plano, o campo é conservativo em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo). Logo existe uma função potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=\vec{F}, e a integral entre dois pontos será \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}), independente do caminho.

Passo 3

Vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y). Por definição, devemos ter
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=2 x y^{3}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}.
Integramos \frac{\partial \varphi}{\partial x}=2 x y^{3} em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int 2 x y^{3}\,dx = x^{2} y^{3} + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
Agora impomos que \partial\varphi/\partial y = Q. Calcule \partial\varphi/\partial y da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y^{3} + g(y)\big) = 3 x^{2} y^{2} + g'(y).
Comparando com Q(x,y)=3 x^{2} y^{2}, obtemos g'(y)=0, então g(y) é constante. Podemos escolher a constante zero (potencial definido a menos de uma constante). Assim:
\varphi(x,y)=x^{2} y^{3}.
Verificação rápida: \partial\varphi/\partial x=2 x y^{3}=P e \partial\varphi/\partial y=3 x^{2} y^{2}=Q. Está correto.

Passo 4

Pela propriedade de campos conservativos (teorema fundamental para gradientes), a integral de linha entre dois pontos A e B é:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A),
independente do caminho C que liga A a B.
No nosso caso, A=(1,1) e B=(1,-1). Calculemos \varphi nesses pontos:
\varphi(1,1)=1^{2}\cdot 1^{3}=1, \qquad \varphi(1,-1)=1^{2}\cdot(-1)^{3}=-1.
Logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(1,-1)-\varphi(1,1)=-1-1=-2.
Portanto qualquer caminho de (1,1) a (1,-1) deve produzir integral igual a -2. Nos próximos passos vamos calcular explicitamente a integral em dois caminhos diferentes parametrizados e usar a propriedade do potencial para o terceiro, para mostrar na prática que dá -2 sempre.

Passo 5

Caminho 1 (segmento vertical direto): caminho C_1 dado por x(t)=1,\;y(t)=1-2t com t\in[0,1]. Assim dx=0 e dy=-2\,dt.
No parâmetro t:
P(x,y)=2x y^{3}=2\cdot1\cdot(1-2t)^{3}=2(1-2t)^{3},
Q(x,y)=3x^{2} y^{2}=3\cdot1^{2}\cdot(1-2t)^{2}=3(1-2t)^{2}.
A integral de linha é
\int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\big(P\,\dot{x}+Q\,\dot{y}\big)\,dt =\int_{0}^{1}\big(0 + 3(1-2t)^{2}\cdot(-2)\big)\,dt.
Logo
\int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-6\int_{0}^{1}(1-2t)^{2}\,dt.
Calcule a integral:
(1-2t)^{2}=1-4t+4t^{2},
\int_{0}^{1}(1-4t+4t^{2})\,dt=\Big[t-2t^{2}+\tfrac{4}{3}t^{3}\Big]_{0}^{1}=1-2+\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}.
Multiplicando:
\int_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-6\cdot \tfrac{1}{3}=-2.

Passo 6

Caminho 2 (caminho em torno de um retângulo, em três segmentos): escolha o caminho C_2 composto por três segmentos:
  1. C_{2a}: de (1,1) a (2,1) (horizontal para a direita);
  2. C_{2b}: de (2,1) a (2,-1) (vertical para baixo);
  3. C_{2c}: de (2,-1) a (1,-1) (horizontal para a esquerda).
Calculamos a integral em cada segmento.
Segmento C_{2a}: y=1 constante, dy=0, x vai de 1 a 2.
\int_{C_{2a}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{x=1}^{2} P(x,1)\,dx=\int_{1}^{2} 2x\cdot 1^{3}\,dx=\int_{1}^{2}2x\,dx=[x^{2}]_{1}^{2}=4-1=3.
Segmento C_{2b}: x=2 constante, dx=0, y vai de 1 até -1.
\int_{C_{2b}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{y=1}^{-1} Q(2,y)\,dy=\int_{1}^{-1}3\cdot 2^{2}\,y^{2}\,dy=\int_{1}^{-1}12 y^{2}\,dy.
Calcule:
\int_{1}^{-1}12 y^{2}\,dy = 12\Big[\frac{y^{3}}{3}\Big]_{1}^{-1}=4\big((-1)^{3}-1^{3}\big)=4(-1-1)=-8.
Segmento C_{2c}: y=-1 constante, dy=0, x vai de 2 a 1.
P(x,-1)=2x(-1)^{3}=-2x,
\int_{C_{2c}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{x=2}^{1} -2x\,dx = -\big[x^{2}\big]_{2}^{1}=-(1-4)=3.
Somando os três segmentos:
\int_{C_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=3 + (-8) + 3 = -2.
Portanto o caminho retangular também dá -2.

Passo 7

Caminho 3 (um caminho curvo qualquer): por exemplo, escolha o semi-círculo C_3 de centro (1,0) e raio 1 que vai de (1,1) a (1,-1), dado por
x(\theta)=1+\cos\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta,\qquad \theta\in\big[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\big].
Calcular diretamente \int_{C_3}\vec{F}\cdot d\vec{r} daria uma integral trigonométrica trabalhosa. No entanto, já mostramos que \vec{F} é conservativo e que a função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}y^{3}. Pelo teorema fundamental para campos gradiente, independentemente da parametrização escolhida,
\int_{C_3}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(1,-1)-\varphi(1,1)=-1-1=-2.
Portanto o semi-círculo também fornece -2. Isso confirma a independência de caminho na prática.

Passo 8

Integral ao longo de um caminho fechado escolhido: escolha o caminho fechado C_{\text{fechado}} que segue o retângulo fechado com vértices (1,1)\to(2,1)\to(2,-1)\to(1,-1)\to(1,1). Já calculamos a integral dos três primeiros lados quando fizemos C_2; falta o último lado C_{2d} que vai de (1,-1) a (1,1) (vertical para cima):
Para C_{2d}: x=1, dx=0, y vai de -1 a 1.
\int_{C_{2d}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{y=-1}^{1} Q(1,y)\,dy = \int_{-1}^{1} 3\cdot1^{2}\,y^{2}\,dy = 3\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy.
\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy = \Big[\frac{y^{3}}{3}\Big]_{-1}^{1}=\frac{1-(-1)}{3}=\frac{2}{3},
então
\int_{C_{2d}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=3\cdot \frac{2}{3}=2.
Somando com a integral de (1,1) até (1,-1) que já tínhamos (que foi -2), o total ao percorrer o retângulo completo é
\int_{C_{\text{fechado}}}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \big(\text{integral de }(1,1)\to(1,-1)\big) + \big(\text{integral de }(1,-1)\to(1,1)\big) = -2 + 2 = 0.
Isto confirma diretamente que a integral ao longo desse laço fechado é zero. Mais geralmente, para qualquer laço fechado em \mathbb{R}^{2}, a integral será zero porque \vec{F} é gradiente de uma função \varphi.

Resposta

-2
0

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