Calcule a integral de linha de
ao longo de 3 caminhos distintos começando pelo ponto
e terminando em
e mostre que os resultados são iguais. Escolha um caminho fechado no plano
e mostre que a integral de linha desse campo neste caminho é zero.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o seguinte:
- Calcular a integral de linha
entre o ponto inicial e o ponto final ao longo de três caminhos distintos e mostrar que os resultados são iguais. - Escolher um caminho fechado no plano
e mostrar que a integral de linha do campo ao longo desse caminho fechado é zero.
Informações relevantes dadas:
- O campo em componentes escalares é
e . - Os pontos inicial e final são
e , respectivamente.
Passo 2
Primeira ideia: verificar se o campo é conservativo (ou seja, se existe uma função potencial
tal que
). Se for conservativo, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos extremos (independente do caminho), e a integral em qualquer laço fechado será zero.
Teste de conservatividade em
: para
com
e
de classe
, um teste necessário (e suficiente em
simplesmente conexo) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Calculemos:
Como
em todo o plano, o campo é conservativo em
(que é simplesmente conexo). Logo existe uma função potencial
com
, e a integral entre dois pontos será
, independente do caminho.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
. Por definição, devemos ter
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora impomos que
. Calcule
da expressão obtida:
Comparando com
, obtemos
, então
é constante. Podemos escolher a constante zero (potencial definido a menos de uma constante). Assim:
Verificação rápida:
e
. Está correto.
Passo 4
Pela propriedade de campos conservativos (teorema fundamental para gradientes), a integral de linha entre dois pontos
e
é:
independente do caminho
que liga
a
.
No nosso caso,
e
. Calculemos
nesses pontos:
Logo
Portanto qualquer caminho de
a
deve produzir integral igual a
. Nos próximos passos vamos calcular explicitamente a integral em dois caminhos diferentes parametrizados e usar a propriedade do potencial para o terceiro, para mostrar na prática que dá
sempre.
Passo 5
Caminho 1 (segmento vertical direto): caminho
dado por
com
. Assim
e
.
No parâmetro :
No parâmetro
A integral de linha é
Logo
Calcule a integral:
Multiplicando:
Passo 6
Caminho 2 (caminho em torno de um retângulo, em três segmentos): escolha o caminho
composto por três segmentos:
-
: de a (horizontal para a direita); -
: de a (vertical para baixo); -
: de a (horizontal para a esquerda).
Calculamos a integral em cada segmento.
Segmento
:
constante,
,
vai de
a
.
Segmento
:
constante,
,
vai de
até
.
Calcule:
Segmento
:
constante,
,
vai de
a
.
Somando os três segmentos:
Portanto o caminho retangular também dá
.
Passo 7
Caminho 3 (um caminho curvo qualquer): por exemplo, escolha o semi-círculo
de centro
e raio
que vai de
a
, dado por
Calcular diretamente
daria uma integral trigonométrica trabalhosa. No entanto, já mostramos que
é conservativo e que a função potencial é
. Pelo teorema fundamental para campos gradiente, independentemente da parametrização escolhida,
Portanto o semi-círculo também fornece
. Isso confirma a independência de caminho na prática.
Passo 8
Integral ao longo de um caminho fechado escolhido: escolha o caminho fechado
que segue o retângulo fechado com vértices
. Já calculamos a integral dos três primeiros lados quando fizemos
; falta o último lado
que vai de
a
(vertical para cima):
Para
:
,
,
vai de
a
.
então
Somando com a integral de
até
que já tínhamos (que foi
), o total ao percorrer o retângulo completo é
Isto confirma diretamente que a integral ao longo desse laço fechado é zero. Mais geralmente, para qualquer laço fechado em
, a integral será zero porque
é gradiente de uma função
.