Considere uma curva \gamma suave qualquer parameterizada por \vec{r}(t), a \leq t \leq b ligando dois pontos de coordenadas \vec{r}(a)=A e \vec{r}(b)=B.
(a) Mostre que, para qualquer vetor constante \vec{v},\|\vec{v}\|=1
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a)) \cdot \vec{v}=\int_{a}^{b} \overrightarrow{r^{\prime}}(t) \cdot \vec{v} d t \leq C_{\gamma}=\int_{a}^{b}\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\| d t
Na última parte integre a desigualdade de Schwarz: \vec{a} \cdot \vec{b} \leq\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| em d t apenas escolhendo os vetores de forma adequada. Nessa expressão, C_{\gamma} é o comprimento da curva \gamma que liga os pontos A e B. Por outro lado, \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| nada mais é do que o comprimento da reta que liga estes mesmos pontos.
(b) Defina agora \vec{v}=\frac{\vec{r}(b)-\vec{r}(a)}{\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|} e mostre que
\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| \leq C_{\gamma}=\int_{a}^{b}\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\| d t
Ou seja, o caminho mais curto entre os pontos A e B é o da reta que os liga!
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumindo, sem resolver ainda):
Dado: uma curva suave qualquer parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b.
Agora a desigualdade ponto a ponto: lembrar e explicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para produtos escalares.
A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Intuição simples: o produto escalar mede a projeção de um vetor sobre o outro; a projeção nunca excede o comprimento multiplicado do outro vetor.
Uma prova rápida (opcional, só para fixar): considere a função \varphi(\lambda)=\|\vec{a}-\lambda\vec{b}\|^2\ge 0. Desenvolvendo \varphi(\lambda) em \lambda e exigindo que o discriminante da quadrática não seja positivo obtém-se a desigualdade acima.
Passo 4
Aplicação de Cauchy–Schwarz ao integrando e integração.
Escolha os vetores em Cauchy–Schwarz como \vec{a}=\vec{r}'(t) e \vec{b}=\vec{v}. Então, para cada t\in[a,b],
Isto resolve a parte (a). Intuitivamente: a projeção do deslocamento total na direção \vec{v} não pode exceder o comprimento real do caminho.
Passo 5
Resolver (b) escolhendo a direção ótima \vec{v}.
Se \vec{r}(b)=\vec{r}(a) então \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|=0 e a desigualdade \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|\le C_{\gamma} é trivial (o comprimento de qualquer curva é não negativo).
(Isto porque \vec{v} é exatamente a direção do vetor \vec{r}(b)-\vec{r}(a), então o produto escalar coincide com o módulo.)
Aplicando a desigualdade do Passo 4 obtemos
\big\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\big\| \le C_{\gamma}.
Isto resolve (b): o comprimento da reta entre A e B (o deslocamento direto) é menor ou igual ao comprimento de qualquer curva que ligue esses pontos.
Passo 6
Comentário final (intuitivo e motivacional):
A desigualdade significa exatamente o que se espera: o caminho mais curto entre dois pontos é a reta que os liga.
Caso de igualdade: ocorre quando \vec{r}'(t) é sempre paralelo a \vec{v} e aponta no mesmo sentido, isto é, quando a curva é essencialmente uma parametrização da reta entre A e B.
Parabéns! Já tens a prova formal e a intuição — essa é uma das demonstrações mais bonitas que ligam cálculo vetorial e geometria.