Considere uma curva \gamma suave qualquer parameterizada por \vec{r}(t), a \leq t \leq b ligando dois pontos de coordenadas \vec{r}(a)=A e \vec{r}(b)=B.
(a) Mostre que, para qualquer vetor constante \vec{v},\|\vec{v}\|=1
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a)) \cdot \vec{v}=\int_{a}^{b} \overrightarrow{r^{\prime}}(t) \cdot \vec{v} d t \leq C_{\gamma}=\int_{a}^{b}\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\| d t
Na última parte integre a desigualdade de Schwarz: \vec{a} \cdot \vec{b} \leq\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| em d t apenas escolhendo os vetores de forma adequada. Nessa expressão, C_{\gamma} é o comprimento da curva \gamma que liga os pontos A e B. Por outro lado, \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| nada mais é do que o comprimento da reta que liga estes mesmos pontos.
(b) Defina agora \vec{v}=\frac{\vec{r}(b)-\vec{r}(a)}{\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|} e mostre que
\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| \leq C_{\gamma}=\int_{a}^{b}\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\| d t
Ou seja, o caminho mais curto entre os pontos A e B é o da reta que os liga!

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumindo, sem resolver ainda):
  • Dado: uma curva suave qualquer parametrizada por \vec{r}(t), a\le t\le b.
  • Pontos extremos: \vec{r}(a)=A e \vec{r}(b)=B.
  • Definição útil: o comprimento da curva é
C_{\gamma}=\int_{a}^{b}\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\|\,dt.
Perguntas:
(a) Mostrar que, para qualquer vetor constante \vec{v} com \|\vec{v}\|=1,
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a)) \cdot \vec{v}=\int_{a}^{b} \overrightarrow{r^{\prime}}(t) \cdot \vec{v}\,dt \leq C_{\gamma}.
(b) Tomando \vec{v}=\dfrac{\vec{r}(b)-\vec{r}(a)}{\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|} (quando \vec{r}(b)\neq\vec{r}(a)), mostrar que
\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| \leq C_{\gamma}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: provar a igualdade (\vec{r}(b)-\vec{r}(a))\cdot\vec{v}=\int_{a}^{b}\vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt.
  • Observação: \vec{v} é constante (não depende de t). Para funções vetoriais vale o teorema fundamental do cálculo componente-a-componente.
  • Calcule a derivada do produto escalar \vec{r}(t)\cdot\vec{v}. Como \vec{v} é constante,
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}(t)\cdot\vec{v}\big)=\vec{r}'(t)\cdot\vec{v}.
Isto é só aplicar a regra da derivada linha a linha: a derivada de \sum_i r_i(t)v_i é \sum_i r_i'(t)v_i.
  • Integrando ambos os lados de a até b e usando o teorema fundamental do cálculo:
\int_a^b \frac{d}{dt}\big(\vec{r}(t)\cdot\vec{v}\big)\,dt = \int_a^b \vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt.
O lado esquerdo é \big[\vec{r}(t)\cdot\vec{v}\big]_a^b = \vec{r}(b)\cdot\vec{v}-\vec{r}(a)\cdot\vec{v}.
  • Portanto
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a))\cdot\vec{v}=\int_a^b \vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt.

Passo 3

Agora a desigualdade ponto a ponto: lembrar e explicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para produtos escalares.
  • A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}\le \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Intuição simples: o produto escalar mede a projeção de um vetor sobre o outro; a projeção nunca excede o comprimento multiplicado do outro vetor.
  • Uma prova rápida (opcional, só para fixar): considere a função \varphi(\lambda)=\|\vec{a}-\lambda\vec{b}\|^2\ge 0. Desenvolvendo \varphi(\lambda) em \lambda e exigindo que o discriminante da quadrática não seja positivo obtém-se a desigualdade acima.

Passo 4

Aplicação de Cauchy–Schwarz ao integrando e integração.
  • Escolha os vetores em Cauchy–Schwarz como \vec{a}=\vec{r}'(t) e \vec{b}=\vec{v}. Então, para cada t\in[a,b],
\vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\le \|\vec{r}'(t)\|\,\|\vec{v}\|.
  • Como no enunciado \|\vec{v}\|=1, isso fica
\vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\le \|\vec{r}'(t)\|.
  • Agora integre essa desigualdade em t de a a b:
\int_a^b \vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt \le \int_a^b \|\vec{r}'(t)\|\,dt = C_{\gamma}.
  • Finalmente, usando a igualdade obtida no Passo 2, concluímos
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a))\cdot\vec{v}=\int_a^b \vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt \le C_{\gamma}.
Isto resolve a parte (a). Intuitivamente: a projeção do deslocamento total na direção \vec{v} não pode exceder o comprimento real do caminho.

Passo 5

Resolver (b) escolhendo a direção ótima \vec{v}.
  • Se \vec{r}(b)=\vec{r}(a) então \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|=0 e a desigualdade \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|\le C_{\gamma} é trivial (o comprimento de qualquer curva é não negativo).
  • Suponha \vec{r}(b)\neq\vec{r}(a). Defina
\vec{v}=\frac{\vec{r}(b)-\vec{r}(a)}{\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\|}.
Essa \vec{v} é um vetor unitário na direção do deslocamento direto B-A.
  • Calcule o lado esquerdo na desigualdade do Passo 4 com essa \vec{v}:
(\vec{r}(b)-\vec{r}(a))\cdot\vec{v} = \big\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\big\|.
(Isto porque \vec{v} é exatamente a direção do vetor \vec{r}(b)-\vec{r}(a), então o produto escalar coincide com o módulo.)
  • Aplicando a desigualdade do Passo 4 obtemos
\big\|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\big\| \le C_{\gamma}.
Isto resolve (b): o comprimento da reta entre A e B (o deslocamento direto) é menor ou igual ao comprimento de qualquer curva que ligue esses pontos.

Passo 6

Comentário final (intuitivo e motivacional):
  • A desigualdade significa exatamente o que se espera: o caminho mais curto entre dois pontos é a reta que os liga.
  • Caso de igualdade: ocorre quando \vec{r}'(t) é sempre paralelo a \vec{v} e aponta no mesmo sentido, isto é, quando a curva é essencialmente uma parametrização da reta entre A e B.
  • Parabéns! Já tens a prova formal e a intuição — essa é uma das demonstrações mais bonitas que ligam cálculo vetorial e geometria.

Resposta

(a) (\vec{r}(b)-\vec{r}(a)) \cdot \vec{v}=\displaystyle\int_{a}^{b} \vec{r}'(t)\cdot\vec{v}\,dt \leq C_{\gamma}=\displaystyle\int_{a}^{b}\|\vec{r}'(t)\|\,dt
(b) \|\vec{r}(b)-\vec{r}(a)\| \leq C_{\gamma}=\displaystyle\int_{a}^{b}\|\vec{r}'(t)\|\,dt

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