Determine se o campo é conservativo, se for, encontre sua função potencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar se o campo vetorial
é conservativo; (2) se for conservativo, encontrar a sua função potencial.
As informações dadas são os componentes de
:
com
Observação sobre domínio: a presença de
exige que
para o campo ser real, e a presença de
exige
. Combinando as duas, o domínio natural onde o campo está definido é o semiplano superior
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática)?
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso quer dizer que
- Em duas variáveis, quando
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, uma condição prática e suficiente para conservatividade é
Vou aplicar esse teste no domínio
, que é aberto e simplesmente conexo (é o semiplano superior).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias, mostrando cada termo.
Derivada de
em relação a
:
Aqui
derivando dá
. No segundo termo,
é tratado como constante ao derivar em
, e
. Portanto
Derivada de
em relação a
:
No primeiro termo
é tratado como constante, então
. No segundo termo
. Portanto
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
vemos que elas são iguais para todo
com
. Como os componentes são
no domínio
e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo em
. (Intuição: não há “rotacional” não nulo nesse domínio.)
Passo 5
Agora vamos encontrar a função potencial
. Pelo significado de potencial, deve valer
Integramos essa equação em relação a
, tratando
como constante. Isso nos dá
Calcule termo a termo:
-
(porque é constante em ); -
Portanto, a primitiva geral em relação a
é
onde
é uma função arbitrária de
(constante ao diferenciar em
).
Passo 6
Determinamos
impondo a outra condição
.
Calcule
:
-
. -
.
Logo
Impondo
, obtemos
Subtraindo os termos idênticos, resta
Portanto
é constante:
.
Passo 7
Conclusão e forma final da função potencial. Tomando a constante
(pode-se adicionar qualquer constante), uma função potencial conveniente é
Como verificação rápida (opcional), derivando essa
obtém-se de volta
e
conforme construído, o que confirma que ela gera
.
Resposta
Sim — o campo é conservativo no domínio
.