Determine se o campo é conservativo, se for, encontre sua função potencial.
\vec{F}=\left(\ln (y)+2 x y^{3}\right) \vec{i}+\left(3 x^{2} y^{2}+x y^{-1}\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar se o campo vetorial \vec{F} é conservativo; (2) se for conservativo, encontrar a sua função potencial.
As informações dadas são os componentes de \vec{F}:
\vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j}
com
P(x,y)=\ln(y)+2x y^{3}, \qquad Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+x y^{-1}.
Observação sobre domínio: a presença de \ln(y) exige que y>0 para o campo ser real, e a presença de y^{-1} exige y\neq0. Combinando as duas, o domínio natural onde o campo está definido é o semiplano superior
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>0\}.

Passo 2

O que significa ser conservativo (explicação didática)?
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Isso quer dizer que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y).
  • Em duas variáveis, quando P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo, uma condição prática e suficiente para conservatividade é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Vou aplicar esse teste no domínio y>0, que é aberto e simplesmente conexo (é o semiplano superior).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias, mostrando cada termo.
Derivada de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl(\ln(y)\bigr)+\frac{d}{dy}\bigl(2x y^{3}\bigr).
Aqui \ln(y) derivando dá 1/y. No segundo termo, x é tratado como constante ao derivar em y, e \dfrac{d}{dy}(2x y^{3})=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}. Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y}+6x y^{2}.
Derivada de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x y^{-1}\bigr).
No primeiro termo y é tratado como constante, então \dfrac{d}{dx}(3x^{2}y^{2})=6x y^{2}. No segundo termo \dfrac{d}{dx}(x y^{-1})=y^{-1}. Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{2}+\frac{1}{y}.

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y}+6x y^{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=6x y^{2}+\frac{1}{y},
vemos que elas são iguais para todo (x,y) com y>0. Como os componentes são C^{1} no domínio y>0 e esse domínio é simplesmente conexo, concluímos que \vec{F} é conservativo em \{y>0\}. (Intuição: não há “rotacional” não nulo nesse domínio.)

Passo 5

Agora vamos encontrar a função potencial \varphi(x,y). Pelo significado de potencial, deve valer
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=\ln(y)+2x y^{3}.
Integramos essa equação em relação a x, tratando y como constante. Isso nos dá
\varphi(x,y)=\int\bigl(\ln(y)+2x y^{3}\bigr)\,dx.
Calcule termo a termo:
  • \displaystyle\int \ln(y)\,dx = x\ln(y) (porque \ln(y) é constante em x);
  • \displaystyle\int 2x y^{3}\,dx = y^{3}\int 2x\,dx = y^{3}\cdot x^{2}.
Portanto, a primitiva geral em relação a x é
\varphi(x,y)=x\ln(y)+x^{2}y^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante ao diferenciar em x).

Passo 6

Determinamos h(y) impondo a outra condição \partial\varphi/\partial y=Q(x,y).
Calcule \partial\varphi/\partial y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln(y)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr) +h'(y).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x\ln(y))=x\cdot \dfrac{1}{y}=\dfrac{x}{y}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3})=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
Logo
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y}+3x^{2}y^{2}+h'(y).
Impondo \partial\varphi/\partial y=Q(x,y)=3x^{2}y^{2}+x y^{-1}, obtemos
\frac{x}{y}+3x^{2}y^{2}+h'(y)=3x^{2}y^{2}+\frac{x}{y}.
Subtraindo os termos idênticos, resta
h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante: h(y)=C.

Passo 7

Conclusão e forma final da função potencial. Tomando a constante C=0 (pode-se adicionar qualquer constante), uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=x\ln(y)+x^{2}y^{3}.
Como verificação rápida (opcional), derivando essa \varphi obtém-se de volta P e Q conforme construído, o que confirma que ela gera \vec{F}.

Resposta

Sim — o campo é conservativo no domínio y>0.
\displaystyle \varphi(x,y)=x\ln(y)+x^{2}y^{3}+C

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