Calcule a integral de linha vetorial integralgamma F d r, onde F=(z, 2 x, 3 y) e gamma é o segmento de reta ligando os pontos (1,1,1) e (1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F = (z, 2x, 3y) ao longo de um segmento de reta que liga os pontos (1,1,1) e (1,2,3). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva gamma, que é o segmento de reta entre (1,1,1) e (1,2,3). Para isso, vamos definir uma função r(t) que descreve essa reta, onde t varia de 0 a 1.
A parametrização geral de uma reta que vai de A a B é:
r(t) = A + t(B - A)
Substituindo os pontos dados:
A = (1,1,1) B = (1,2,3) B - A = (0,1,2)
Então:
r(t) = (1,1,1) + t(0,1,2) = (1, 1 + t, 1 + 2t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r,'(t). Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva, necessário para a integral de linha.
Derivando cada componente de r(t):
r,'(t) = ( ddt1, ddt(1 + t), ddt(1 + 2t) ) = (0, 1, 2)

Passo 4

Em seguida, vamos substituir a parametrização r(t) na função F. Isso significa calcular F(r(t)).
F(r(t)) = ( z, 2x, 3y ) = ( 1 + 2t, 2 cdot 1, 3 cdot (1 + t) ) = (1 + 2t, 2, 3 + 3t)

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t):
F(r(t)) cdot r,'(t) = (1 + 2t) cdot 0 + 2 cdot 1 + (3 + 3t) cdot 2 = 0 + 2 + 6 + 6t = 8 + 6t

Passo 6

Finalmente, integramos o produto escalar de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (8 + 6t) , dt = [ 8t + 3t^2 ]0^1 = (8 cdot 1 + 3 cdot 1^2) - (8 cdot 0 + 3 cdot 0^2) = 8 + 3 = 11

Resposta

A integral de linha integralgamma F , dr vale 11.

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