Seja f uma função definida no conjunto dos números reais de modo que f(x3)=x^2+x+1.
Determine a soma de todos os valores de z para os quais f(3 z)=7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os números reais, e ela segue a regra . A pergunta quer saber quais valores de tornam e, depois, somar esses valores de . Vamos usar conceitos de funções e álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação dada: f(y) = (3y)^2 + 3y + 1 = 9y^2 + 3y + 1 . Queremos encontrar , então precisamos expressar de uma forma que possamos substituir no lugar de .
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja . Assim, . Substituindo na equação original:
Agora temos , que é a expressão geral da função .

Passo 3

Agora queremos encontrar f(3z) = 9(3z)^2 + 3(3z) + 1 = 9 cdot 9z^2 + 9z + 1 = 81z^2 + 9z + 1 tais que 81z^2 + 9z + 1 = 7 . Vamos substituir na expressão que encontramos para :
Então, temos a equação:

Passo 4

Vamos resolver essa equa��ão quadrática. Primeiro, vamos levar todos os termos para um lado para igualar a zero:
81z^2 + 9z + 1 - 7 = 0 81z^2 + 9z - 6 = 0
Agora, temos a equação quadrática:
81z^2 + 9z - 6 = 0

Passo 5

Para resolver a equação quadrática z = -b pm raizb^2 - 4ac2a , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
z = -9 pm raiz9^2 - 4 cdot 81 cdot (-6)2 cdot 81 z = -9 pm raiz81 + 1944162 z = -9 pm raiz2025162 z = -9 pm 45162
Onde , e . Substituindo os valores:

Passo 6

Calculando as duas possíveis soluções:
  1. z = -9 + 45162 = 36162 = 29
  2. z = -9 - 45162 = -54162 = -13

Passo 7

Agora, vamos somar os valores de 29 + (-13) = 29 - 39 = -19 que encontramos:

Resposta

A soma de todos os valores de para os quais é .

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