Seja
uma função definida no conjunto dos números reais de modo que
.
Determine a soma de todos os valores de
para os quais
.
Determine a soma de todos os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida para todos os números reais, e ela segue a regra
. A pergunta quer saber quais valores de
tornam
e, depois, somar esses valores de
. Vamos usar conceitos de funções e álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação dada:
. Queremos encontrar
, então precisamos expressar
de uma forma que possamos substituir
no lugar de
.
Vamos fazer uma mudança de variável para facilitar. Seja
. Assim,
. Substituindo na equação original:
Agora temos
, que é a expressão geral da função
.
Passo 3
Agora queremos encontrar
tais que
. Vamos substituir
na expressão que encontramos para
:
Então, temos a equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equa��ão quadrática. Primeiro, vamos levar todos os termos para um lado para igualar a zero:
Agora, temos a equação quadrática:
Passo 5
Para resolver a equação quadrática
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando as duas possíveis soluções:
Passo 7
Agora, vamos somar os valores de
que encontramos:
Resposta
A soma de todos os valores de
para os quais
é
.