Questāo 2: Explique o porquê a integral
é igual a zero para qualquer curva
ligando os pontós
e
, onde
. (Todas as afirmações devem ser devidamente justificadas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a integral
é igual a zero para qualquer curva
que liga os pontos
e
, onde
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o de campos conservativos e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Isso significa que a integral de
ao longo de qualquer curva depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos tentar encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando cada uma dessas equações, encontramos que
, onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, calculamos a diferença da função potencial nos pontos finais da curva
:
A diferença é:
Passo 5
Como
é um campo conservativo e a diferença das funções potenciais nos pontos finais é zero, a integral
também é igual a zero, independentemente do caminho
escolhido entre esses pontos.
Resposta
A integral
é igual a zero porque o campo
é conservativo e os valores da função potencial nos pontos
e
são iguais, fazendo com que a diferença seja zero.