Questāo 2: Explique o porquê a integral integralgamma F d r é igual a zero para qualquer curva gamma ligando os pontós (1,2,3) e (3,2,1), onde F=(2 x, 2 y, 2 z). (Todas as afirmações devem ser devidamente justificadas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a integral integralgamma F , dr é igual a zero para qualquer curva gamma que liga os pontos (1,2,3) e (3,2,1), onde F = (2x, 2y, 2z). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o de campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existir uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Isso significa que a integral de F ao longo de qualquer curva depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

No nosso caso, temos F = (2x, 2y, 2z). Vamos tentar encontrar a função potencial phi. Sabemos que:
partial phipartial x = 2x partial phipartial y = 2y partial phipartial z = 2z
Integrando cada uma dessas equações, encontramos que phi = x^2 + y^2 + z^2 + C, onde C é uma constante.

Passo 4

Agora, calculamos a diferença da função potencial nos pontos finais da curva gamma:
phi(3,2,1) = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14 phi(1,2,3) = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14
A diferença é:
phi(3,2,1) - phi(1,2,3) = 14 - 14 = 0

Passo 5

Como F é um campo conservativo e a diferença das funções potenciais nos pontos finais é zero, a integral integralgamma F , dr também é igual a zero, independentemente do caminho gamma escolhido entre esses pontos.

Resposta

A integral integralgamma F , dr é igual a zero porque o campo F = (2x, 2y, 2z) é conservativo e os valores da função potencial nos pontos (1,2,3) e (3,2,1) são iguais, fazendo com que a diferença seja zero.

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