Questão 1: Seja gamma a curva dada pela seguinte equação: x^2-2 x+y^2=0. Calcule a integral de linha vetorial ointgamma F d r, onde F=(-y^33+2 sin (x^2), x^33+ln (y^2+1)) e gamma é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha vetorial ointgamma F , dr, onde a curva gamma é definida por x^2 - 2x + y^2 = 0 e percorrida no sentido anti-horário. A função vetorial F é (-y^33 + 2 sin(x^2), x^33 + ln(y^2 + 1)). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma. A equação x^2 - 2x + y^2 = 0 pode ser reescrita completando o quadrado:
x^2 - 2x + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 - 1 = 0 implies (x - 1)^2 + y^2 = 1
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em (1, 0).

Passo 3

Agora, vamos lembrar o Teorema de Green, que diz:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde F = (P, Q) e D é a região interior a gamma.

Passo 4

Identificando P e Q na nossa função vetorial:
P = -y^33 + 2 sin(x^2)
Q = x^33 + ln(y^2 + 1)
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = x^2
partial Ppartial y = -y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( x^2 - (-y^2) ) dx , dy = integral duplaD (x^2 + y^2) dx , dy
Então, nossa integral de linha se transforma em uma integral dupla de x^2 + y^2 sobre a região D.

Passo 6

Como D é um círculo de raio 1 centrado em (1, 0), podemos facilitar a integração mudando para coordenadas polares deslocadas. Porém, para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável: deixar u = x - 1 e v = y. Assim, o círculo fica centrado na origem:
u^2 + v^2 = 1
E a expressão x^2 + y^2 em termos de u e v fica:
(x)^2 + y^2 = (u + 1)^2 + v^2 = u^2 + 2u + 1 + v^2 = (u^2 + v^2) + 2u + 1

Passo 7

Agora, a integral dupla fica:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u^2 + v^2 + 2u + 1) , du , dv
Vamos dividir essa integral em partes:
integral dupla (u^2 + v^2) , du , dv + 2 integral dupla u , du , dv + integral dupla 1 , du , dv

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. integral dupla (u^2 + v^2) , du , dv: Esta é a integral da função r^2 em coordenadas polares, que para um círculo de raio 1 é pi2.
  2. 2 integral dupla u , du , dv: Devido à simetria, essa integral é zero.
  3. integral dupla 1 , du , dv: É apenas a área do círculo de raio 1, que é pi.

Passo 9

Somando as partes:
pi2 + 0 + pi = 3pi2

Resposta

A integral de linha ointgamma F , dr é igual a 3pi2.

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