Questão 1: Seja
a curva dada pela seguinte equação:
. Calcule a integral de linha vetorial
, onde
e
é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha vetorial
, onde a curva
é definida por
e percorrida no sentido anti-horário. A função vetorial
é
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema de Green, que diz:
Onde
e
é a região interior a
.
Passo 4
Identificando
e
na nossa função vetorial:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, nossa integral de linha se transforma em uma integral dupla de
sobre a região
.
Passo 6
Como
é um círculo de raio 1 centrado em
, podemos facilitar a integração mudando para coordenadas polares deslocadas. Porém, para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável: deixar
e
. Assim, o círculo fica centrado na origem:
E a expressão
em termos de
e
fica:
Passo 7
Agora, a integral dupla fica:
Vamos dividir essa integral em partes:
Passo 8
Calculando cada parte:
-
: Esta é a integral da função em coordenadas polares, que para um círculo de raio 1 é . -
: Devido à simetria, essa integral é zero. -
: É apenas a área do círculo de raio 1, que é .
Passo 9
Somando as partes:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.