Calcule a integral ao longo da curva dada no sentido anti-horário,
onde
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada no sentido anti-horário
onde
é a fronteira da região limitada por
e
. Informações relevantes fornecidas:
- A forma diferencial tem
associada a . - A forma diferencial tem
associada a . - A curva
é a fronteira de uma região planeada limitada pelas curvas (à esquerda) e (à direita), e a orientação é anti-horária.
Passo 2
Escolha do método: aqui temos uma integral de linha fechada na forma
sobre a fronteira de uma região plana
. Um método padrão e eficiente para este tipo de problema é usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região
. Vou usar esse método porque ele costuma simplificar muito quando a combinação
fica simples (às vezes constante), e é exatamente o caso aqui.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green (versão usada): se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região aberta que contém
e sua fronteira
, e
é percorrida no sentido positivo (anti-horário), então
Explicando as letras:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo. Antes de aplicar, preciso checar que
e
e suas derivadas parciais são contínuas em
. Note que
tem fator
, que é singular em
; porém na região
temos
variando entre
e
, e
, logo
em
. Portanto não há singularidade em
e as derivadas parciais são contínuas lá. Podemos aplicar Green normalmente.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
- Primeiro calcule
para . Tratando como constante,
- Agora calcule
para . Tratando como constante,
- Subtraindo:
Portanto o integrando da integral dupla é a constante
. Isso simplifica muito o cálculo: a integral de linha será
vezes a área da região
.
Passo 5
Descrever a região
para calcular a área: as curvas que limitam
são
(à esquerda) e
(à direita). Para encontrar os limites em
, igualamos as curvas para achar interseções:
Como
é par e crescente em
, as interseções ocorrem em
e
. Assim a região
pode ser descrita como
Logo a área de
é
Passo 6
Calcular a área e a integral dupla:
- Primeiro a integral para a área:
Como
é função par,
. Como
também é par,
.
- Portanto
- Como o integrando da integral dupla vale
, pela fórmula de Green:
Passo 7
Verificação rápida das hipóteses e orientação: usamos a orientação anti-horária (sentido positivo) como dado, e já verificamos que
e as derivadas parciais são contínuas em
porque
ali. Portanto o uso do Teorema de Green está justificado e o resultado obtido é consistente.