Calcule a integral ao longo da curva dada no sentido anti-horário,
\oint_{C} x^{-1} e^{y} d x+\left(e^{y} \ln x+2 x\right) d y
onde C é a fronteira da região limitada por x=1+y^{4} e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada no sentido anti-horário
\oint_{C} x^{-1} e^{y}\,dx+\left(e^{y}\ln x+2x\right)\,dy
onde C é a fronteira da região limitada por x=1+y^{4} e x=2. Informações relevantes fornecidas:
  • A forma diferencial tem P(x,y)=x^{-1}e^{y}=\dfrac{e^{y}}{x} associada a dx.
  • A forma diferencial tem Q(x,y)=e^{y}\ln x+2x associada a dy.
  • A curva C é a fronteira de uma região planeada D limitada pelas curvas x=1+y^{4} (à esquerda) e x=2 (à direita), e a orientação é anti-horária.

Passo 2

Escolha do método: aqui temos uma integral de linha fechada na forma \oint_C P\,dx + Q\,dy sobre a fronteira de uma região plana D. Um método padrão e eficiente para este tipo de problema é usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região D. Vou usar esse método porque ele costuma simplificar muito quando a combinação \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y fica simples (às vezes constante), e é exatamente o caso aqui.

Passo 3

Enunciado do Teorema de Green (versão usada): se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região aberta que contém D e sua fronteira C, e C é percorrida no sentido positivo (anti-horário), então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando as letras: \partial Q/\partial x é a derivada parcial de Q em relação a x mantendo y fixo; \partial P/\partial y é a derivada parcial de P em relação a y mantendo x fixo. Antes de aplicar, preciso checar que P e Q e suas derivadas parciais são contínuas em D. Note que P tem fator x^{-1}, que é singular em x=0; porém na região D temos x variando entre 1+y^{4} e 2, e 1+y^{4}\ge 1, logo x\ge 1>0 em D. Portanto não há singularidade em D e as derivadas parciais são contínuas lá. Podemos aplicar Green normalmente.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x} para Q(x,y)=e^{y}\ln x+2x. Tratando y como constante,
\frac{\partial Q}{\partial x} = e^{y}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(2x) = e^{y}\cdot\frac{1}{x} + 2 = \frac{e^{y}}{x}+2.
  • Agora calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} para P(x,y)=\dfrac{e^{y}}{x}. Tratando x como constante,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{x}\cdot\frac{d}{dy}(e^{y}) = \frac{e^{y}}{x}.
  • Subtraindo:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \left(\frac{e^{y}}{x}+2\right)-\frac{e^{y}}{x}=2.
Portanto o integrando da integral dupla é a constante 2. Isso simplifica muito o cálculo: a integral de linha será 2 vezes a área da região D.

Passo 5

Descrever a região D para calcular a área: as curvas que limitam D são x=1+y^{4} (à esquerda) e x=2 (à direita). Para encontrar os limites em y, igualamos as curvas para achar interseções:
1+y^{4}=2 \quad\Longrightarrow\quad y^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm 1.
Como y^{4} é par e crescente em [0,\infty), as interseções ocorrem em y=-1 e y=1. Assim a região D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 1,\; 1+y^{4}\le x\le 2\}.
Logo a área de D é
\text{Area}(D)=\int_{y=-1}^{1}\bigl(2-(1+y^{4})\bigr)\,dy=\int_{-1}^{1}(1-y^{4})\,dy.

Passo 6

Calcular a área e a integral dupla:
  • Primeiro a integral para a área:
\int_{-1}^{1}(1-y^{4})\,dy = \int_{-1}^{1}1\,dy - \int_{-1}^{1}y^{4}\,dy.
Como 1 é função par, \int_{-1}^{1}1\,dy = 2. Como y^{4} também é par, \int_{-1}^{1}y^{4}\,dy = 2\int_{0}^{1}y^{4}\,dy = 2\cdot\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
  • Portanto
\text{Area}(D)=2-\frac{2}{5}=\frac{10}{5}-\frac{2}{5}=\frac{8}{5}.
  • Como o integrando da integral dupla vale 2, pela fórmula de Green:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Area}(D) = 2\cdot\frac{8}{5}=\frac{16}{5}.

Passo 7

Verificação rápida das hipóteses e orientação: usamos a orientação anti-horária (sentido positivo) como dado, e já verificamos que P,Q e as derivadas parciais são contínuas em D porque x\ge 1>0 ali. Portanto o uso do Teorema de Green está justificado e o resultado obtido é consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{5}

Exercícios relacionados