Resolva as equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la (isto é, encontrar a solução geral
). As informações relevantes que temos são:
e que a incógnita é a função
. Não há outros dados adicionais (condição inicial), portanto buscamos a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocamos a equação em forma mais explícita, dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Simplificando os coeficientes obtemos a forma
Passo 3
Esta é uma equação do tipo Bernoulli (forma padrão
), com termo não linear em
. Aqui identificamos:
Reescrevendo na forma
para facilitar a substituição, temos
Passo 4
O truque padrão para Bernoulli é a substituição
Agora precisamos relacionar
com
. Usando a regra da cadeia:
Isolando
em termos de
temos
Vamos usar essa relação para transformar a equação em uma equação linear para
.
Passo 5
Multiplicamos a equação
por
. Fazendo isso e substituindo
e
, obtemos:
Agora calculemos
e
explicitamente:
Portanto a equação para
fica linear:
Passo 6
Para resolver a equação linear de primeira ordem
com
usamos o fator integrante
Calculando as integrais:
logo
Para simplificar a escrita, trabalhamos em um intervalo onde
(assim
); a mesma forma vale em intervalos
trocando
por
. Assim tomamos
Passo 7
Multiplicamos a equação por
. A equação
multiplica para
Aqui
Integramos:
para constante arbitrária
. Para calcular a integral use a substituição
, então
, obtendo
Portanto
Passo 8
Substituímos
na igualdade anterior:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Assim
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 9
Voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos
Isolando
:
e finalmente
onde
é a constante arbitrária. Lembre que esta fórmula foi obtida supondo
; para validade global consideram‑se intervalos onde o sinal de
é fixo (p.ex.
).