Resolva as equações de Bernoulli
3 t y^{\prime}=y\left(1+t \operatorname{sen} t-3 y^{3} \operatorname{sen} t\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3t\,y' = y\bigl(1 + t\sin t - 3y^{3}\sin t\bigr)
e pede para resolvê‑la (isto é, encontrar a solução geral y(t)). As informações relevantes que temos são:
\text{equação: }3t\,y' = y\bigl(1 + t\sin t - 3y^{3}\sin t\bigr),çã
e que a incógnita é a função y(t). Não há outros dados adicionais (condição inicial), portanto buscamos a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocamos a equação em forma mais explícita, dividindo ambos os lados por 3t (assumindo t\neq0):
y' = \frac{1}{3t}\bigl(1+t\sin t\bigr)y - \frac{3y^{4}\sin t}{3t}.
Simplificando os coeficientes obtemos a forma
y' = \left(\frac{1}{3t} + \frac{\sin t}{3}\right)y - \frac{\sin t}{t}\,y^{4}.

Passo 3

Esta é uma equação do tipo Bernoulli (forma padrão y' + P(t)y = Q(t)y^{n}), com termo não linear em y. Aqui identificamos:
n=4,\qquad A(t)=\frac{1}{3t}+\frac{\sin t}{3},\qquad B(t)=-\frac{\sin t}{t}.
Reescrevendo na forma y' - A(t)y = B(t) y^{4} para facilitar a substituição, temos
y' - A(t)y = B(t)y^{4}.

Passo 4

O truque padrão para Bernoulli é a substituição
z = y^{\,1-n} = y^{1-4} = y^{-3}.
Agora precisamos relacionar z' com y'. Usando a regra da cadeia:
z' = \frac{d}{dt}\bigl(y^{-3}\bigr) = -3y^{-4}y'.
Isolando y' em termos de z' temos
y' = -\frac{1}{3}y^{4} z'.
Vamos usar essa relação para transformar a equação em uma equação linear para z.

Passo 5

Multiplicamos a equação y' - A(t)y = B(t)y^{4} por -3y^{-4}. Fazendo isso e substituindo -3y^{-4}y' = z' e y^{-3}=z, obtemos:
z' + 3A(t)\,z = -3B(t).
Agora calculemos 3A(t) e -3B(t) explicitamente:
3A(t) = 3\left(\frac{1}{3t}+\frac{\sin t}{3}\right) = \frac{1}{t} + \sin t,
-3B(t) = -3\left(-\frac{\sin t}{t}\right) = \frac{3\sin t}{t}.
Portanto a equação para z fica linear:
z' + \left(\frac{1}{t}+\sin t\right)z = \frac{3\sin t}{t}.

Passo 6

Para resolver a equação linear de primeira ordem z' + P(t)z = g(t) com P(t)=\frac{1}{t}+\sin t usamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{t}\,dt+\int\sin t\,dt\Bigr).
Calculando as integrais:
\int\frac{1}{t}\,dt=\ln|t|,\qquad \int\sin t\,dt=-\cos t,
logo
\mu(t)=\exp\!\bigl(\ln|t|-\cos t\bigr)=|t|e^{-\cos t}.
Para simplificar a escrita, trabalhamos em um intervalo onde t>0 (assim |t|=t); a mesma forma vale em intervalos t<0 trocando t por |t|. Assim tomamos
\mu(t)=t e^{-\cos t}.

Passo 7

Multiplicamos a equação por \mu(t). A equação z' + Pz = g multiplica para
\bigl(\mu z\bigr)' = \mu g.
Aqui
\mu g = t e^{-\cos t}\cdot\frac{3\sin t}{t} = 3\sin t\, e^{-\cos t}.
Integramos:
\mu z = \int 3\sin t\, e^{-\cos t}\,dt + C,
para constante arbitrária C. Para calcular a integral use a substituição u=-\cos t, então du=\sin t\,dt, obtendo
\int 3\sin t\, e^{-\cos t}\,dt = 3\int e^{u}\,du = 3e^{u} = 3e^{-\cos t}.
Portanto
\mu z = 3e^{-\cos t} + C.

Passo 8

Substituímos \mu(t)=t e^{-\cos t} na igualdade anterior:
t e^{-\cos t}\,z = 3e^{-\cos t} + C.
Multiplicando ambos os lados por e^{\cos t} obtemos
t z = 3 + C e^{\cos t}.
Assim
z(t) = \frac{3 + C e^{\cos t}}{t},
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 9

Voltamos à variável original y. Lembrando que z=y^{-3}, temos
y^{-3} = \frac{3 + C e^{\cos t}}{t}.
Isolando y:
y^{3} = \frac{t}{3 + C e^{\cos t}},
e finalmente
y(t)=\left(\frac{t}{3 + C e^{\cos t}}\right)^{\!1/3},
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Lembre que esta fórmula foi obtida supondo t\neq0; para validade global consideram‑se intervalos onde o sinal de t é fixo (p.ex. t>0).

Resposta

y(t)=\left(\frac{t}{3 + C e^{\cos t}}\right)^{\!1/3},\qquad C\in\mathbb{R},\\ t\neq0.

Exercícios relacionados