Calcule \oint_{C} \frac{x^{2}-y^{2}}{2} d x+\left(\frac{x}{2}+y^{2}\right) d y, onde C é a fronteira da região
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, x \geq 0 \text { e } y \geq 0\right\}
orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\,dx+\left(\frac{x}{2}+y^{2}\right)\,dy,
onde C é a fronteira da região
D=\left\{(x, y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 4,\; x\ge 0,\; y\ge 0\right\}
orientada positivamente.
Informações importantes dadas:
  1. A forma diferencial tem P(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2} e Q(x,y)=\frac{x}{2}+y^{2}.
  2. A região D é o conjunto de pontos no primeiro quadrante (pois x\ge0, y\ge0) entre dois círculos centrados na origem de raios 1 e 2 (pois 1\le x^{2}+y^{2}\le4).
  3. A fronteira C é a borda dessa “corona” (anel) no primeiro quadrante, orientada positivamente (sentido anti-horário).

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática)
Vou aplicar o Teorema de Green porque ele transforma uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx+Q\,dy numa integral dupla sobre a região interior D. Isso evita parametrizar cada arco e segmento da fronteira (o que seria mais trabalhoso). O Teorema de Green (versão que vamos usar) diz:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde P e Q são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, C é a fronteira orientada positivamente, e dA é o elemento de área. Aqui a condição de positividade (orientação anti-horária) está satisfeita, e P,Q são polinômios, então podemos aplicar sem problemas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando
Escrevendo explicitamente P e Q:
P(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2}=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y^{2}, \qquad Q(x,y)=\frac{x}{2}+y^{2}.
Agora as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{2}y^{2}\right)=-y.
Portanto o integrando do Teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}-(-y)=\frac{1}{2}+y.

Passo 4

Escrever a integral dupla sobre D
Pelo Teorema de Green:
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{1}{2}+y\right)\,dA.
Agora devemos calcular essa integral dupla sobre a região D — que é a parte do anel entre r=1 e r=2 no primeiro quadrante.

Passo 5

Passagem para coordenadas polares (explicação didática)
Em coordenadas polares usamos:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
Aqui r é a distância ao ponto (x,y) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x-positivo. Para a região D (primeiro quadrante, 1\le r\le 2) os limites são:
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 1\le r\le 2.

Passo 6

Substituir o integrando e o elemento de área nas polares
Substituindo y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{D}\left(\frac{1}{2}+y\right)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2}\left(\frac{1}{2}+r\sin\theta\right)r\,dr\,d\theta.
Explico: multiplicamos \left(\frac{1}{2}+r\sin\theta\right) pelo fator r do jacobiano.

Passo 7

Computar a integral interna em r passo a passo
O integrando em r é \left(\frac{1}{2}\right)r + r^{2}\sin\theta. Então
\int_{r=1}^{2}\left(\frac{1}{2}r + r^{2}\sin\theta\right)\,dr = \int_{1}^{2}\frac{1}{2}r\,dr + \sin\theta\int_{1}^{2}r^{2}\,dr.
Calcule cada parcela:
\int_{1}^{2}\frac{1}{2}r\,dr=\frac{1}{2}\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{1}^{2}=\frac{1}{4}(4-1)=\frac{3}{4},
\int_{1}^{2}r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}\Big|_{1}^{2}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3},
portanto a integral em r é
\frac{3}{4}+\sin\theta\cdot\frac{7}{3}.

Passo 8

Integrar em \theta e finalizar os cálculos
Agora integramos em \theta de 0 a \pi/2:
\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{3}{4}+\frac{7}{3}\sin\theta\right)\,d\theta = \frac{3}{4}\int_{0}^{\pi/2}d\theta + \frac{7}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta.
Calcule:
\frac{3}{4}\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{8},
\frac{7}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\frac{7}{3}\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{7}{3}(0+1)=\frac{7}{3}.
Somando:
\frac{3\pi}{8}+\frac{7}{3}.

Passo 9

Simplificar a expressão final em uma fração única
Colocando em denomidador comum 24:
\frac{3\pi}{8}+\frac{7}{3}=\frac{9\pi}{24}+\frac{56}{24}=\frac{9\pi+56}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{9\pi+56}{24}

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