A forma diferencial tem P(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2} e Q(x,y)=\frac{x}{2}+y^{2}.
A região D é o conjunto de pontos no primeiro quadrante (pois x\ge0, y\ge0) entre dois círculos centrados na origem de raios 1 e 2 (pois 1\le x^{2}+y^{2}\le4).
A fronteira C é a borda dessa “corona” (anel) no primeiro quadrante, orientada positivamente (sentido anti-horário).
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática)
Vou aplicar o Teorema de Green porque ele transforma uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx+Q\,dy numa integral dupla sobre a região interior D. Isso evita parametrizar cada arco e segmento da fronteira (o que seria mais trabalhoso). O Teorema de Green (versão que vamos usar) diz:
onde P e Q são funções com derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, C é a fronteira orientada positivamente, e dA é o elemento de área. Aqui a condição de positividade (orientação anti-horária) está satisfeita, e P,Q são polinômios, então podemos aplicar sem problemas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando
Escrevendo explicitamente P e Q:
Aqui r é a distância ao ponto (x,y) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x-positivo. Para a região D (primeiro quadrante, 1\le r\le 2) os limites são:
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 1\le r\le 2.
Passo 6
Substituir o integrando e o elemento de área nas polares
Substituindo y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica