Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo formam um espaço vetorial?
(c) Conjunto de todas as soluções do sistema algébrico de equações
, onde
;
(c) Conjunto de todas as soluções do sistema algébrico de equações
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o conjunto de todas as soluções do sistema algébrico
, com
e
, forma um espaço vetorial.
Informações dadas:
- A matriz
tem dimensão com . - Consideramos o conjunto
- Não foram fornecidos outros dados numéricos; o que importa é a forma do sistema (homogêneo) e a relação
.
Passo 2
O que significa mostrar que
é um espaço vetorial (ou subespaço) de
:
- Como
já é um espaço vetorial, é suficiente mostrar que é um subespaço de . - Um critério simples e padrão para subespaço: provar que
é não vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Ou seja, devemos verificar: -
(não vazio), - se
e então (fechamento por soma), - se
e então (fechamento por escalares).
-
- Explicação rápida do porquê: essas três propriedades garantem que todas as combinações lineares de vetores de
permanecem em , e isso garante todas as demais propriedades de espaço vetorial herdadas de .
Passo 3
Verificar que
(conjunto não vazio).
- Aplique a matriz
ao vetor nulo . - Usamos a propriedade básica de multiplicação de matrizes:
. - Logo
. Isso prova que não é vazio.
Passo 4
Fechamento sob soma: se
e
, então
.
- Por hipótese
e . - Use a linearidade da multiplicação matricial (distributividade):
- Assim
satisfaz , logo . - Comentário didático: a passagem
é um caso do fato de que a aplicação é linear — isso é essencial para que o conjunto de soluções seja fechado por soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação escalar: se
e
, então
.
- Por hipótese
. - Use a propriedade de compatibilidade escala-matriz:
- Portanto
. - Comentário didático: essa igualdade segue do fato de que multiplicar o vetor por um escalar antes ou depois de aplicar
só muda por esse escalar, devido à linearidade.
Passo 6
Conclusão imediata sobre ser espaço vetorial:
- Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, é um subespaço de . - Portanto o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo
é um espaço vetorial (especificamente, o núcleo ou espaço nulo de ).
Passo 7
Observação extra (útil para prova e intuição): existência de soluções não triviais quando
.
- Pelo Teorema da Dimensão (Teorema posto como rank-nullity),
. - Sempre
. Como , segue que . - Então
. Isso mostra que existem vetores não nulos que resolvem . - Conclusão prática: quando
você normalmente terá infinitas soluções (um subespaço de dimensão pelo menos ), não apenas a solução trivial . Exemplo concreto: se (matriz ), então
que é claramente um subespaço unidimensional de
.
Resposta
O conjunto de todas as soluções de
é um espaço vetorial (é um subespaço de
); além disso, como
, esse subespaço tem dimensão positiva (existe solução não trivial).