Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo formam um espaço vetorial?
(c) Conjunto de todas as soluções do sistema algébrico de equações \mathbf{A x}=\mathbf{0}, onde \mathbf{A} \in R^{m \times n}, m<n;

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o conjunto de todas as soluções do sistema algébrico \mathbf{A x}=\mathbf{0}, com \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n} e m<n, forma um espaço vetorial.
Informações dadas:
  • A matriz \mathbf{A} tem dimensão \,m\times n com m<n.
  • Consideramos o conjunto
S=\{\,\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n \mid \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}\,\}.
  • Não foram fornecidos outros dados numéricos; o que importa é a forma do sistema (homogêneo) e a relação m<n.

Passo 2

O que significa mostrar que S é um espaço vetorial (ou subespaço) de \mathbb{R}^n:
  • Como \mathbb{R}^n já é um espaço vetorial, é suficiente mostrar que S é um subespaço de \mathbb{R}^n.
  • Um critério simples e padrão para subespaço: provar que S é não vazio e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar. Ou seja, devemos verificar:
    1. \mathbf{0}\in S (não vazio),
    2. se \mathbf{u}\in S e \mathbf{v}\in S então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S (fechamento por soma),
    3. se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\mathbf{u}\in S (fechamento por escalares).
  • Explicação rápida do porquê: essas três propriedades garantem que todas as combinações lineares de vetores de S permanecem em S, e isso garante todas as demais propriedades de espaço vetorial herdadas de \mathbb{R}^n.

Passo 3

Verificar que \mathbf{0}\in S (conjunto não vazio).
  • Aplique a matriz \mathbf{A} ao vetor nulo \mathbf{0}\in\mathbb{R}^n.
  • Usamos a propriedade básica de multiplicação de matrizes: \mathbf{A}\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Logo \mathbf{0}\in S. Isso prova que S não é vazio.

Passo 4

Fechamento sob soma: se \mathbf{u}\in S e \mathbf{v}\in S, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  • Por hipótese \mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{0} e \mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}.
  • Use a linearidade da multiplicação matricial (distributividade):
\mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Assim \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz \mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}, logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.
  • Comentário didático: a passagem \mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{A}\mathbf{v} é um caso do fato de que a aplicação \mathbf{x}\mapsto\mathbf{A}\mathbf{x} é linear — isso é essencial para que o conjunto de soluções seja fechado por soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar: se \mathbf{u}\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in S.
  • Por hipótese \mathbf{A}\mathbf{u}=\mathbf{0}.
  • Use a propriedade de compatibilidade escala-matriz:
\mathbf{A}(\alpha\mathbf{u})=\alpha(\mathbf{A}\mathbf{u})=\alpha\mathbf{0}=\mathbf{0}.
  • Portanto \alpha\mathbf{u}\in S.
  • Comentário didático: essa igualdade segue do fato de que multiplicar o vetor por um escalar antes ou depois de aplicar \mathbf{A} só muda por esse escalar, devido à linearidade.

Passo 6

Conclusão imediata sobre ser espaço vetorial:
  • Como S contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, S é um subespaço de \mathbb{R}^n.
  • Portanto o conjunto de todas as soluções do sistema homogêneo \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0} é um espaço vetorial (especificamente, o núcleo ou espaço nulo de \mathbf{A}).

Passo 7

Observação extra (útil para prova e intuição): existência de soluções não triviais quando m<n.
  • Pelo Teorema da Dimensão (Teorema posto como rank-nullity), \operatorname{rank}(\mathbf{A})+\operatorname{nullity}(\mathbf{A})=n.
  • Sempre \operatorname{rank}(\mathbf{A})\le m. Como m<n, segue que \operatorname{rank}(\mathbf{A})<n.
  • Então \operatorname{nullity}(\mathbf{A})=n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})>0. Isso mostra que existem vetores não nulos que resolvem \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}.
  • Conclusão prática: quando m<n você normalmente terá infinitas soluções (um subespaço de dimensão pelo menos 1), não apenas a solução trivial \mathbf{0}. Exemplo concreto: se \mathbf{A}=[1\\\ 0] (matriz 1\times2), então
S=\{(0,t)\in\mathbb{R}^2 \mid t\in\mathbb{R}\},
que é claramente um subespaço unidimensional de \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto de todas as soluções de \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0} é um espaço vetorial (é um subespaço de \mathbb{R}^n); além disso, como m<n, esse subespaço tem dimensão positiva (existe solução não trivial).

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