Calcule a integral de f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ao longo da espiral \gamma(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), 0<t<2 \pi. Resposta: \frac{2 \sqrt{2} \pi}{3}\left(3+4 \pi^{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha da função escalar f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 ao longo da curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t) para 0\le t\le2\pi. O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, usando a fórmula
\int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\gamma(t))\,\|\gamma'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calcular \gamma'(t) e sua norma. Temos
\gamma'(t)=(-\sin t,\cos t,1),
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\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}.

Passo 3

Avaliar a função sobre a curva:
f(\gamma(t)) = (\cos t)^2 + (\sin t)^2 + t^2 = 1 + t^2.
Assim o integrando fica \bigl(1+t^2\bigr)\sqrt{2} e a integral torna-se
\int_0^{2\pi} (1+t^2)\sqrt{2}\,dt.

Passo 4

Calcular a integral:
\int_0^{2\pi} (1+t^2)\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\Bigl[\int_0^{2\pi}1\,dt + \int_0^{2\pi}t^2\,dt\Bigr] = \sqrt{2}\Bigl[2\pi + \frac{(2\pi)^3}{3}\Bigr] = \sqrt{2}\Bigl(2\pi + \frac{8\pi^3}{3}\Bigr).
Fatorando,
\sqrt{2}\Bigl(2\pi + \frac{8\pi^3}{3}\Bigr) = \frac{2\sqrt{2}\,\pi}{3}\bigl(3 + 4\pi^2\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{2}\,\pi}{3}\bigl(3 + 4\pi^2\bigr)

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