Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
\{s_n\} da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}
e quer uma fórmula geral para s_n. Em seguida, precisamos decidir se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo aqui é soma de série geométrica, cujo termo geral é da forma
\displaystyle a_n = a\,r^{\,n-1}
com a=2 e r=\tfrac15.

Passo 2

Vamos calcular diretamente as quatro primeiras somas parciais:
s_1 = \frac{2}{5^{1-1}} = \frac{2}{1} = 2,
s_2 = s_1 + \frac{2}{5^{2-1}} = 2 + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} + \frac{2}{5} = \frac{12}{5},
s_3 = s_2 + \frac{2}{5^{3-1}} = \frac{12}{5} + \frac{2}{25} = \frac{60}{25} + \frac{2}{25} = \frac{62}{25},
s_4 = s_3 + \frac{2}{5^{4-1}} = \frac{62}{25} + \frac{2}{125} = \frac{310}{125} + \frac{2}{125} = \frac{312}{125}.

Passo 3

Para a série geométrica com termo inicial a e razão r, vale a fórmula
s_n = a \,\frac{1 - r^n}{1 - r}.
Aqui a=2 e r=\tfrac15, logo
s_n = 2 \,\frac{1 - \bigl(\tfrac15\bigr)^n}{1 - \tfrac15} = 2 \,\frac{1 - 5^{-n}}{\tfrac45} = \frac{2}{1}\cdot\frac{5}{4}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr) = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr).

Passo 4

Como \lvert r\rvert = \tfrac15 < 1, a série converge. A soma da série infinita é o limite de s_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}s_n = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 0\bigr) = \frac{5}{2}.

Resposta

s_1 = 2,\quad s_2 = \tfrac{12}{5},\quad s_3 = \tfrac{62}{25},\quad s_4 = \tfrac{312}{125}.
Fórmula geral:
s_n = \frac{5}{2}\,\bigl(1 - 5^{-n}\bigr).
A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{5}{2}.

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