Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para
em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
da série
e quer uma fórmula geral para
. Em seguida, precisamos decidir se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo aqui é soma de série geométrica, cujo termo geral é da forma
com e
.
com
Passo 2
Vamos calcular diretamente as quatro primeiras somas parciais:
Passo 3
Para a série geométrica com termo inicial
e razão
, vale a fórmula
Aqui
e
, logo
Passo 4
Como
, a série converge. A soma da série infinita é o limite de
quando
:
Resposta
Fórmula geral:
A série converge e sua soma é
.