Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficiente:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é o método para EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro obtemos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Consideramos a equação homogênea associada
Formamos a equação característica
O discriminante é
, logo as raízes são
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
, notamos que o termo não homogêneo é combinação de
e
. Usamos o ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Agrupando termos, os
e
do primeiro e do último cancelam, sobrando
Passo 5
Igualamos ao lado direito
:
Comparando coeficientes de
e
, obtemos
Logo
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: