Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficiente:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=\cos (x)-\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + y = \cos(x) - \operatorname{sen}(x).
O conteúdo envolvido é o método para EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro obtemos a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea associada
y'' - y' + y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 - r + 1 = 0.
O discriminante é \Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot1 = -3, logo as raízes são
r = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_c = e^{x/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para a solução particular y_p, notamos que o termo não homogêneo é combinação de \cos x e \operatorname{sen} x. Usamos o ansatz
y_p = A\cos(x) + B\operatorname{sen}(x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -A\operatorname{sen}(x) + B\cos(x),
y_p'' = -A\cos(x) - B\operatorname{sen}(x).
Substituindo em y'' - y' + y:
y_p'' - y_p' + y_p = \bigl(-A\cos x - B\operatorname{sen} x\bigr) - \bigl(-A\operatorname{sen} x + B\cos x\bigr) + \bigl(A\cos x + B\operatorname{sen} x\bigr).
Agrupando termos, os A\cos x e B\operatorname{sen} x do primeiro e do último cancelam, sobrando
y_p'' - y_p' + y_p = A\operatorname{sen}(x) - B\cos(x).

Passo 5

Igualamos ao lado direito \cos x - \operatorname{sen} x:
A\operatorname{sen}(x) - B\cos(x) = \cos(x) - \operatorname{sen}(x).
Comparando coeficientes de \operatorname{sen}(x) e \cos(x), obtemos
\begin{cases} A = -1,\\\\ -\,B = 1 \;\Rightarrow\; B = -1. \end{cases}
Logo
y_p = -\cos(x) - \operatorname{sen}(x).

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_c + y_p = e^{x/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr) - \cos(x) - \operatorname{sen}(x).

Resposta

\boxed{y(x) = e^{x/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr)\;-\;\cos(x)\;-\;\operatorname{sen}(x).}

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