Usando o Teorema de Green, integre o campo
na elipse
, para mostrar que a área limitada por ela é dada por
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Green no campo vetorial
ao longo da elipse
,
, de modo a mostrar que a área do domínio
limitado por
é
. O Teorema de Green afirma que, para
em uma curva fechada
,
Passo 2
Aqui temos
Logo
portanto
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Passo 4
Para obter outra expressão para a integral de linha, parametrizamos
por
,
. Então
e
Integrando de
a
,
Passo 5
Comparando as duas formas de
, temos