Usando o Teorema de Green, integre o campo F(x, y)=(-y, x) na elipse \gamma(t)=(a \cos (t), b \operatorname{sen}(t)), 0<t<2 \pi, para mostrar que a área limitada por ela é dada por \pi a b;

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Green no campo vetorial
F(x,y)=(-y,x)
ao longo da elipse \gamma(t)=(a\cos t,\;b\sin t), 0\le t\le2\pi, de modo a mostrar que a área do domínio D limitado por \gamma é \pi ab. O Teorema de Green afirma que, para P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy em uma curva fechada C,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Aqui temos
P(x,y)=-y, \qquad Q(x,y)=x.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-1,
portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1)=2.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{\gamma}(-y\,dx + x\,dy) =\iint_{D}2\,dA =2\,\mathrm{Area}(D).

Passo 4

Para obter outra expressão para a integral de linha, parametrizamos \gamma por x=a\cos t, y=b\sin t. Então
dx=-a\sin t\,dt, \qquad dy=b\cos t\,dt,
e
-y\,dx+x\,dy =-b\sin t\cdot(-a\sin t)\,dt \;+\;a\cos t\cdot b\cos t\,dt =ab(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt =ab\,dt.
Integrando de 0 a 2\pi,
\oint_{\gamma}(-y\,dx + x\,dy) =\int_{0}^{2\pi}ab\,dt =2\pi ab.

Passo 5

Comparando as duas formas de \oint_{\gamma}(-y\,dx + x\,dy), temos
2\,\mathrm{Area}(D)=2\pi ab \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{Area}(D)=\pi ab.

Resposta

\pi ab

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