Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e vamos precisar usar integração por partes e avaliar limites para confirmar a convergência.
Passo 2
Para verificar se a integral converge, reconhecemos que o fator exponencial
domina o crescimento de
quando
. Portanto a integral deve convergir. Agora partimos para encontrar a primitiva.
Passo 3
Usamos integração por partes. Seja
e
. Então
e
.
A primitiva fica:
A primitiva fica:
Como
, obtemos:
Passo 4
Agora avaliamos o integral imprópria:
No limite
, temos
e
. Então a contribuição em
é zero. Em
vale:
Subtraindo, o resultado é
.
Resposta
$\displaystyle \tfrac{1}{25} $