Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral0^infty x e^-5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty x e^-5x,dx. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e vamos precisar usar integração por partes e avaliar limites para confirmar a convergência.

Passo 2

Para verificar se a integral converge, reconhecemos que o fator exponencial e^-5x domina o crescimento de x quando xtoinfty. Portanto a integral deve convergir. Agora partimos para encontrar a primitiva.

Passo 3

Usamos integração por partes. Seja u = x e dv = e^-5x,dx. Então du = dx e v = integral e^-5x,dx = -tfrac15e^-5x.
A primitiva fica:
integral x e^-5x,dx = u v - integral v,du = -tfrac15x e^-5x - integral l(-tfrac15e^-5xr),dx
Como -integrall(-tfrac15e^-5xr),dx = +tfrac15integral e^-5x,dx = -tfrac125e^-5x, obtemos:
integral x e^-5x,dx = -tfrac15x e^-5x - tfrac125e^-5x + C

Passo 4

Agora avaliamos o integral imprópria:
integral0^infty x e^-5x,dx = limbtoinfty l[-tfrac15x e^-5x - tfrac125e^-5xr]0^b
No limite btoinfty, temos b e^-5bto0 e e^-5bto0. Então a contribuição em x=b é zero. Em x=0 vale:
-tfrac15cdot0cdot1 - tfrac125cdot1 = -tfrac125
Subtraindo, o resultado é 0 - (-tfrac125) = tfrac125.

Resposta

$\displaystyle \tfrac{1}{25} $

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