Encontre a distância máxima e a distância mínima da origem até um ponto na região D=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2-z^2=0, x-2 z-3=0.

Passo 1

A questão pede a distância máxima e mínima da origem aos pontos que satisfazem simultaneamente o cone x^2 + y^2 - z^2 = 0 e o plano x - 2z - 3 = 0. O conteúdo é otimização com restrições (multiplicadores de Lagrange) e vamos usar a função distância ao quadrado f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 para evitar a raiz.

Passo 2

Definimos as restrições
g1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0,
g2(x,y,z)=x-2z-3=0
Pelo método de Lagrange, impomos
nabla f = lambda,nabla g1 + mu,nabla g2,
o que dá o sistema
(2x,;2y,;2z)=lambda,(2x,;2y,;-2z)+mu,(1,;0,;-2)

Passo 3

Escrevendo componente a componente e as duas restrições, temos:
2x=2lambda x+mu,
2y=2lambda y,
2z=-2lambda z-2mu,
x^2+y^2-z^2=0,
x-2z-3=0

Passo 4

Da segunda equação 2y=2lambda y vem ou y=0 ou lambda=1. Se lambda=1 tentarmos, leva a contradição na restrição do cone, então fica y=0.

Passo 5

Com y=0, da reta do plano temos
x=2z+3
e do cone
x^2=z^2implies x=pm z
Caso x=z: substituindo em x=2z+3 z=-3, então x=-3. Ponto (-3,0,-3).
Caso x=-z: dá -z=2z+3 logo z=-1 e x=1. Ponto (1,0,-1).

Passo 6

Agora calculamos as distâncias:
Para (1,0,-1):
raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2
Para (-3,0,-3):
raiz(-3)^2+0^2+(-3)^2=raiz18=3raiz2

Resposta

Distância mínima = raiz2, distância máxima = 3raiz2.

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