Encontre a distância máxima e a distância mínima da origem até um ponto na região
.
Passo 1
A questão pede a distância máxima e mínima da origem aos pontos que satisfazem simultaneamente o cone
e o plano
. O conteúdo é otimização com restrições (multiplicadores de Lagrange) e vamos usar a função distância ao quadrado
para evitar a raiz.
Passo 2
Definimos as restrições
Pelo método de Lagrange, impomos
o que dá o sistema
Passo 3
Escrevendo componente a componente e as duas restrições, temos:
Passo 4
Da segunda equação
vem ou
ou
. Se
tentarmos, leva a contradição na restrição do cone, então fica
.
Passo 5
Com
, da reta do plano temos
e do cone
Caso
: substituindo em
dá
, então
. Ponto
.
Caso : dá
logo
e
. Ponto
.
Caso
Passo 6
Agora calculamos as distâncias:
Para :
Para
Para
:
Resposta
Distância mínima =
, distância máxima =
.