Dado f(z)=z^{2}+3 z. Ache u(x, y) e v(x, y) e calcule o valor de f(z) em z=1+3 i. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=z^{2}+3z e pede duas coisas:
  • Encontrar as partes real u(x,y) e imaginária v(x,y) de f quando z=x+iy.
  • Calcular o valor de f(z) no ponto z=1+3i.
Informações relevantes fornecidas:
  • z será escrito como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • A função alvo é f(z)=z^{2}+3z.

Passo 2

Primeiro, escrevo z em termos de x e y e faço a álgebra componente a componente.
Escrevendo z=x+iy e calculando z^{2}:
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}+2ixy-i^{2}y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Agora calculo 3z:
3z=3(x+iy)=3x+3iy.
Somando os dois termos para obter f(z):
f(z)=z^{2}+3z=(x^{2}-y^{2}+2ixy)+(3x+3iy).
Agrupando parte real e parte imaginária:
f(z)=(x^{2}-y^{2}+3x)+i(2xy+3y).

Passo 3

A partir da expressão acima, identifico diretamente u e v:
u(x,y)=x^{2}-y^{2}+3x, \qquad v(x,y)=2xy+3y.
Explicação didática (o que significa separar em u e v): toda função complexa pode ser escrita como f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) com z=x+iy. Aqui separamos os termos que não têm i (parte real u) e os que multiplicam i (parte imaginária v).

Passo 4

O enunciado pede para usar as condições de Cauchy-Riemann. Vou apresentar as condições e verificar que elas valem (isso mostra que a função é diferenciável no sentido complexo onde as parciais são contínuas).
As equações de Cauchy-Riemann são, para u e v com derivadas parciais:
u_{x}=v_{y}, \qquad u_{y}=-v_{x},
onde u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_{y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_{x}=\dfrac{\partial v}{\partial x}, v_{y}=\dfrac{\partial v}{\partial y}.
Calculo as derivadas parciais de u e v:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}+3x)=2x+3,
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}+3x)=-2y.
v_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+3y)=2y,
v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+3y)=2x+3.
Agora verifico as condições de Cauchy-Riemann:
u_{x}=2x+3=v_{y}, \qquad u_{y}=-2y=-v_{x}.
As igualdades conferem, então as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{R}^{2}. Como u e v são polinomiais (têm derivadas parciais contínuas), concluímos que f é holomorfa (diferenciável como função complexa) em todo o plano complexo.

Passo 5

Agora calculo f(z) no ponto z=1+3i. Uso as fórmulas de u e v já obtidas e faço a substituição x=1, y=3.
Calculo a parte real:
u(1,3)=1^{2}-3^{2}+3\cdot1=1-9+3=-5.
Calculo a parte imaginária:
v(1,3)=2\cdot1\cdot3+3\cdot3=6+9=15.
Portanto,
f(1+3i)=u(1,3)+i\,v(1,3)=-5+15i.
(Pequena verificação alternativa: (1+3i)^{2}=1+6i-9=-8+6i e 3(1+3i)=3+9i; somando: (-8+3)+(6+9)i=-5+15i, mesmo resultado.)

Resposta

u(x,y)=x^{2}-y^{2}+3x
v(x,y)=2xy+3y
f(1+3i)=-5+15i

Exercícios relacionados