Dado
. Ache
e
e calcule o valor de
em
. (Obs.: Nos problemas 1 a 4 use as condições de Cauchy-Riemann)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar as partes real
e imaginária de quando . - Calcular o valor de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
-
será escrito como com . - A função alvo é
.
Passo 2
Primeiro, escrevo
em termos de
e
e faço a álgebra componente a componente.
Escrevendo
e calculando
:
Agora calculo
:
Somando os dois termos para obter
:
Agrupando parte real e parte imaginária:
Passo 3
A partir da expressão acima, identifico diretamente
e
:
Explicação didática (o que significa separar em
e
): toda função complexa pode ser escrita como
com
. Aqui separamos os termos que não têm
(parte real
) e os que multiplicam
(parte imaginária
).
Passo 4
O enunciado pede para usar as condições de Cauchy-Riemann. Vou apresentar as condições e verificar que elas valem (isso mostra que a função é diferenciável no sentido complexo onde as parciais são contínuas).
As equações de Cauchy-Riemann são, para
e
com derivadas parciais:
onde
,
,
,
.
Calculo as derivadas parciais de
e
:
Agora verifico as condições de Cauchy-Riemann:
As igualdades conferem, então as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo
. Como
e
são polinomiais (têm derivadas parciais contínuas), concluímos que
é holomorfa (diferenciável como função complexa) em todo o plano complexo.
Passo 5
Agora calculo
no ponto
. Uso as fórmulas de
e
já obtidas e faço a substituição
,
.
Calculo a parte real:
Calculo a parte imaginária:
Portanto,
(Pequena verificação alternativa:
e
; somando:
, mesmo resultado.)