Calcule:
A integral \oint_{C} y^{2} d x+4 x y d y,onde C é a curva fechada que consiste no arco de parábola y=x^{2},de( 0,0 )até( 2,4 ),seguido do segmento de reta de( 2,4 )até( 0,0 )

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} y^{2}\,dx + 4xy\,dy,
onde C é a curva fechada formada pelo arco de parábola y=x^{2} de (0,0) até (2,4) seguido do segmento de reta de (2,4) de volta a (0,0). Como C percorre uma região simples de forma positiva (região fica à esquerda), vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

No Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=4xy. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}=4y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2y,
logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =4y-2y=2y.

Passo 3

A região D é delimitada por y=x^{2} e pela reta y=2x, que se encontram em x=0 e x=2. Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;x^{2}\le y\le2x\}.
Aplicamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
\iint_{D}2y\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=x^{2}}^{2x}2y\,dy\,dx.

Passo 4

Calculando a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{2x}2y\,dy =\bigl[y^{2}\bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} =(2x)^{2}-(x^{2})^{2} =4x^{2}-x^{4}.
Agora a integral em x:
\int_{0}^{2}\bigl(4x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx =\left[\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{2} =\frac{4}{3}\cdot8-\frac{1}{5}\cdot32 =\frac{32}{3}-\frac{32}{5} =\frac{32\,(5-3)}{15} =\frac{64}{15}.

Resposta

\oint_{C}y^{2}\,dx+4xy\,dy=\frac{64}{15}.

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