Calcule a integral
no plano
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde a curva
está contida no plano
e é orientada no sentido anti‑horário.\n
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A 1‑forma (campo) é
com .\n - A curva
é fechada e está inteiramente no plano .\n - A orientação é anti‑horária (isto define a orientação positiva para aplicar o teorema de Green/Stokes).\n
Nada mais é dado sobre a forma da curva — portanto a resposta deverá ficar em função da região queencierra (ou seja, da área projetada no plano ). A resolução começa agora.
Passo 2
Estratégia escolhida (por que): como a curva vive no plano
podemos restringir a 1‑forma àquele plano e reduzir o problema a uma integral de linha no plano
. Em seguida aplicaremos o Teorema de Green (fácil e direto para integrais de linha fechadas em
). Esta escolha é natural porque o plano dá uma relação simples entre
e
, tornando a redução muito simples. Vou explicar passo a passo essas ideias.
Passo 3
Redução da 1‑forma ao plano
.\n
Na superfície definida por temos a relação diferencial
Na superfície definida por
pois
é igual a
ao longo da superfície. Substituímos
nas componentes e
na 1‑forma original.\n
Calculemos as componentes com :
Calculemos as componentes com
Como
, os termos em
e
se juntam:
. Portanto a 1‑forma reduzida no plano é
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green (aula curta):\n
O Teorema de Green diz o seguinte — de forma prática para nós: se é uma curva fechada simples, orientada positivamente (anti‑horário) e
é a região planar em
limitada por
, então para a 1‑forma
se tem
O Teorema de Green diz o seguinte — de forma prática para nós: se
Aqui
é o elemento de área no plano
. A hipótese “anti‑horário” garante que estamos usando a orientação positiva exigida pelo teorema.\n
No nosso caso, após redução, e
.
No nosso caso, após redução,
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais e da integral dupla:\n
Compute as derivadas:
Compute as derivadas:
Logo
Pelo Teorema de Green,
A integral dupla de
sobre
é simplesmente a área da região
no plano
limitada por
. Note que
é a projeção orthogonal no plano
da região em
limitada por
.\n
Portanto a integral pedida vale precisamente a área da região projetada de no plano
.
Portanto a integral pedida vale precisamente a área da região projetada de
Passo 6
Checagem alternativa (curtinha) usando Rotacional + Stokes (opcional, para intuição):\n
O rotacional do campo é
O rotacional do campo
Se aplicássemos o Teorema de Stokes sobre a superfície
contida em
com fronteira
, obteríamos
Tomando um vetor normal unitário apropriado à superfície e lembrando que a área da superfície se relaciona com a área projetada no plano
por
, faz-se a conta e obtém‑se novamente que o resultado é
. Isso confirma a conclusão anterior.