(2,5) Calcule a integral de superficie z=4-x^{2}-y^{2} acima do plano \mathrm{z}=0.

Passo 1

Enunciado e dados importantes que temos:
  • A superfície é dada por z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Queremos a parte dessa superfície que está “acima do plano” z=0, ou seja, a porção onde z\ge 0.
  • A pergunta do enunciado é: Calcule a integral de superfície (isto é, a área da superfície) da porção de z=4-x^{2}-y^{2} que fica acima de z=0.

Passo 2

Identificar a região de projeção no plano xy:
  • A condição z\ge 0 implica 4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • Portanto a projeção no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Em outras palavras, é um disco de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Fórmula para a área de uma superfície definida como gráfico de z=f(x,y):
  • Se uma superfície é dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área A dessa superfície é
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\,dA.
  • Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. A ideia é que cada pedaço de área no plano dA se “esticará” pela inclinação da superfície, e o fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} mede essa inclinação localmente.
  • Vamos aplicar essa fórmula com f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f:
  • f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x.
  • f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(4-x^{2}-y^{2})=-2y.
  • Logo
1+f_x^{2}+f_y^{2}=1+(-2x)^{2}+(-2y)^{2}=1+4x^{2}+4y^{2}=1+4(x^{2}+y^{2}).

Passo 5

Trocar para coordenadas polares para facilitar a integração:
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Neste caso x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
  • O disco D corresponde a 0\le r\le 2,\; 0\le\theta\le 2\pi.
  • A integranda fica \sqrt{1+4r^{2}}. Portanto a área é
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r com uma substituição:
  • Considere a substituição u=1+4r^{2}. Então du=8r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{8}.
  • Quando r=0 temos u=1. Quando r=2 temos u=1+4\cdot 4=17.
  • Assim
\int_{0}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr=\int_{u=1}^{u=17}\sqrt{u}\;\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}\,du.
  • Integramos u^{1/2}: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{1}^{17}=\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1^{3/2}\big)=\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big).

Passo 7

Finalizar a integral em \theta e simplificar:
  • Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi, o que multiplica por 2\pi:
A=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big)\right)d\theta = \frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1\big)\cdot 2\pi.
  • Simplificando o fator \dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}, obtemos
A=\frac{\pi}{6}\big(17^{3/2}-1\big).
  • Observação: 17^{3/2}=17\sqrt{17}, então uma forma equivalente é
A=\frac{\pi}{6}\big(17\sqrt{17}-1\big).

Resposta

\displaystyle A=\frac{\pi}{6}\big(17^{3/2}-1\big)=\frac{\pi}{6}\big(17\sqrt{17}-1\big)

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