(2,5) Calcule a integral de superficie z=4-x^{2}-y^{2} acima do plano \mathrm{z}=0.
Passo 1
Enunciado e dados importantes que temos:
A superfície é dada por z=4-x^{2}-y^{2}.
Queremos a parte dessa superfície que está “acima do plano” z=0, ou seja, a porção onde z\ge 0.
A pergunta do enunciado é: Calcule a integral de superfície (isto é, a área da superfície) da porção de z=4-x^{2}-y^{2} que fica acima de z=0.
Passo 2
Identificar a região de projeção no plano xy:
A condição z\ge 0 implica 4-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Portanto a projeção no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Em outras palavras, é um disco de raio 2 centrado na origem.
Passo 3
Fórmula para a área de uma superfície definida como gráfico de z=f(x,y):
Se uma superfície é dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área A dessa superfície é
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\,dA.
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. A ideia é que cada pedaço de área no plano dA se “esticará” pela inclinação da superfície, e o fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} mede essa inclinação localmente.
Vamos aplicar essa fórmula com f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.