Use a fórmula deducida do Teorema de Green:A(\mathbb{D})=\frac{1}{2} \int_{C} x d y-y d x para calcular a área da região dada: \mathbb{D} é a região limitada pelas curvas y^{2}=x^{3} e y=x .
Passo 1
O enunciado pede a área da região \mathbb{D} limitada pelas curvas y^{2}=x^{3} e y=x, usando a fórmula deduzida do Teorema de Green
A(\mathbb{D})=\frac{1}{2}\,\int_{C}x\,dy - y\,dx,
onde C é o contorno fechado de \mathbb{D} percorrido no sentido anti-horário.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção de y^{2}=x^{3} com y=x. Substituindo y=x em y^{2}=x^{3} obtém-se
x^{2}=x^{3}\,\Longrightarrow\,x^{2}(1 - x)=0\,\Longrightarrow\,x=0\text{ ou }x=1.
Logo, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
Passo 3
Descrever o contorno C como união de duas curvas:
C_{1}: reta y=x de (0,0) a (1,1);
C_{2}: ramo superior de y^{2}=x^{3}, i.e.\ y=x^{3/2}, de (1,1) de volta a (0,0).
Escolhemos a parametrização de C no sentido anti-horário.
Passo 4
Parametrização de C_{1}. Seja
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad t\in[0,1].
Então
dx=dt,\quad dy=dt
e
x\,dy - y\,dx = t\,dt - t\,dt = 0.
Portanto
\int_{C_{1}}x\,dy - y\,dx = 0.
Passo 5
Parametrização de C_{2}. Como y^{2}=x^{3} e y\ge0, escrevemos