Use a fórmula deducida do Teorema de Green: A(\mathbb{D})=\frac{1}{2} \int_{C} x d y-y d x para calcular a área da região dada:
\mathbb{D} é a região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=18-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região \mathbb{D} limitada pelas parábolas y=x^{2} e y=18-x^{2}, usando a fórmula deduzida do Teorema de Green
A(\mathbb{D})=\frac{1}{2}\oint_{C} \bigl(x\,dy - y\,dx\bigr).
O conteúdo é aplicação de cálculo de linha e parametrização de contorno com orientação positiva (anti-horária).

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^{2}=18 - x^{2} \;\Longrightarrow\; 2x^{2}=18 \;\Longrightarrow\; x^{2}=9 \;\Longrightarrow\; x=\pm3.
Então as curvas se cruzam em (-3,9) e (3,9).

Passo 3

Parametrizamos o contorno C\) em duas partes, orientadas de modo anti-horário: C\(_1\): arco superior \(y=18-x^{2}\) de \(x=-3\) a \(x=3\). \[\begin{cases} x=t,\\\ y=18 - t^{2}, \end{cases} \quad t\in[-3,3].
C _2\]: arco inferior \(y=t^{2} indo de x=3 a x=-3 (sentido invertido para fechar em sentido anti-horário):
\begin{cases} x=t,\\\ y=t^{2}, \end{cases} \quad t\in[3,-3].

Passo 4

Calculamos sobre C _1: dx=dt, dy=-2t\,dt.
Então
x\,dy - y\,dx = t\cdot(-2t\,dt)\;-\;(18-t^{2})\,dt = (-2t^{2}-18+t^{2})\,dt =(-(t^{2}+18))\,dt.
Integrando de -3 a 3:
\int_{-3}^{3}\bigl[-(t^{2}+18)\bigr]\,dt = \int_{-3}^{3}(-t^{2}-18)\,dt = \Bigl[-\tfrac{t^{3}}{3}-18t\Bigr]_{-3}^{3} = (-9-54)-(\,9+54\,) = -63-63 = -126.

Passo 5

Calculamos sobre C _2: dx=dt, dy=2t\,dt.
x\,dy - y\,dx = t\cdot(2t\,dt)\;-\;t^{2}\,dt = (2t^{2}-t^{2})\,dt = t^{2}\,dt.
Integrando de 3 a -3:
\int_{3}^{-3}t^{2}\,dt = \Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{3}^{-3} = \bigl(-9\bigr)\;-\;\bigl(9\bigr) = -18.

Passo 6

Somando os dois trechos do contorno:
\oint_{C}(x\,dy - y\,dx) = (-126)+(-18) = -144.
Pela fórmula de Green,
A(\mathbb{D}) =\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy - y\,dx) =\frac{1}{2}(-144) =-72.
Como área é positiva, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é 72.

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