Como usualmente verificamos que f é diferenciável?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber como verificar se uma função $ f $ é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o conceito de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como ela está relacionada à diferenciabilidade de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função $ f $ ser diferenciável em um ponto. Diferenciabilidade significa que a função tem uma derivada naquele ponto, ou seja, existe uma reta tangente que aproxima bem a função perto desse ponto.

Passo 3

Para verificar se $ f $ é diferenciável em um ponto $ a $, precisamos calcular o limite que define a derivada:
f
Se esse limite existe e é finito, então $ f $ é diferenciável em $ a $.

Passo 4

Vamos calcular esse limite passo a passo:
  1. Substitua $ a + h $ na função $ f $.
  2. Subtraia $ f(a) $ do resultado.
  3. Divida por $ h $.
  4. Calcule o limite quando $ h $ tende a zero.

Passo 5

Além disso, se a função $ f $ for derivável em todos os pontos de um intervalo, ela é diferenciável nesse intervalo. Também é importante lembrar que se uma função é derivável em um ponto, ela é necessariamente contínua nesse ponto.

Passo 6

Caso a função $ f $ seja dada por uma expressão matemática, podemos usar regras de derivação (como a regra do produto, da cadeia, etc.) para encontrar a derivada de forma mais fácil. Porém, o método do limite sempre funciona e é a base para entender a derivabilidade.

Passo 7

Finalmente, verifique se não há nenhum ponto onde a função não seja suave ou apresente “quebras” ou “pontas”, pois nesses casos a função não será diferenciável.

Resposta

Para verificar que $ f $ é diferenciável, calculamos o limite $ f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $. Se esse limite existe e é finito para todos os pontos de interesse, então $ f $ é diferenciável.

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