Como usualmente verificamos que
é diferenciável?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber como verificar se uma função $ f $ é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente o conceito de derivada. Vamos precisar entender o que é derivada e como ela está relacionada à diferenciabilidade de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função $ f $ ser diferenciável em um ponto. Diferenciabilidade significa que a função tem uma derivada naquele ponto, ou seja, existe uma reta tangente que aproxima bem a função perto desse ponto.
Passo 3
Para verificar se $ f $ é diferenciável em um ponto $ a $, precisamos calcular o limite que define a derivada:
Se esse limite existe e é finito, então $ f $ é diferenciável em $ a $.
Passo 4
Vamos calcular esse limite passo a passo:
- Substitua $ a + h $ na função $ f $.
- Subtraia $ f(a) $ do resultado.
- Divida por $ h $.
- Calcule o limite quando $ h $ tende a zero.
Passo 5
Além disso, se a função $ f $ for derivável em todos os pontos de um intervalo, ela é diferenciável nesse intervalo. Também é importante lembrar que se uma função é derivável em um ponto, ela é necessariamente contínua nesse ponto.
Passo 6
Caso a função $ f $ seja dada por uma expressão matemática, podemos usar regras de derivação (como a regra do produto, da cadeia, etc.) para encontrar a derivada de forma mais fácil. Porém, o método do limite sempre funciona e é a base para entender a derivabilidade.
Passo 7
Finalmente, verifique se não há nenhum ponto onde a função não seja suave ou apresente “quebras” ou “pontas”, pois nesses casos a função não será diferenciável.
Resposta
Para verificar que $ f $ é diferenciável, calculamos o limite $ f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $. Se esse limite existe e é finito para todos os pontos de interesse, então $ f $ é diferenciável.