Resolva o PVI:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (N+1)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI
y'=e^-y,t, com condição inicial y(0)=ln(N+1). O conteúdo é equação diferencial de variáveis separáveis: vamos separar y e t e integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=dydt, temos
dydt=e^-yt
Para separar, multiplicamos em cruz:
e^y,dy=t,dt
Agora integramos os dois lados:

Passo 3

Integrando cada lado,
integral e^y,dy=integral t,dt
resulta em
e^y=t^22+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Aplicando a condição inicial: em t=0 temos
y(0)=ln(N+1)implies e^y(0)=N+1
Logo,
e^y(0)=0^22+C=N+1implies C=N+1

Passo 5

Substituindo C de volta na solução parcial, obtemos
e^y=t^22+N+1
Então basta tirar logaritmo para achar y(t).

Resposta

y(t)=\ln\bigl(\tfrac{t^2}{2}+N+1\bigr)

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