W=integral duplaD(y^2+x) d y d x=integral0^1 integral0^1-x(y^2+x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aqui é calcular uma integral dupla, que faz parte da matéria de Cálculo Integral. Precisamos entender como integrar uma função de duas variáveis sobre uma determinada região. Para isso, vamos usar técnicas de integração iterada, ou seja, integrar passo a passo em cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
W = integral duplaD(y^2 + x) , dy , dx = integral0^1 integral0^1 - x(y^2 + x) , dy , dx
Aqui, $ D $ é a região onde vamos integrar, que está definida pelos limites de $ x $ de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ vai de 0 a $ 1 - x $. Isso forma um triângulo no plano $ xy $.

Passo 3

Vamos começar integrando a função $ y^{2} + x $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ como constante:
y^2 + x
Isso se divide em duas integrais:
y

Passo 4

Calculando a primeira integral:
integral y^2 , dy = y^33
Avaliando de 0 a $ 1 - x $:
1 - x

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral x , dy = x cdot y
Avaliando de 0 a $ 1 - x $:
1 - x

Passo 6

Somando as duas partes:
(1 - x)^33 + x - x^2
Agora, temos que integrar isso em relação a $ x $ de 0 a 1:
x

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. 13 integral (1 - x)^3 , dx
  2. integral x , dx
  3. integral (-x^2) , dx
Para a primeira parte, fazemos uma substituição $ u = 1 - x $, então $ du = -dx $:
u = 1 - x
Para a segunda parte:
du = -dx
E para a terceira parte:
13 integral u^3 (-du) = -13 cdot u^44 = -(1 - x)^412

Passo 8

Agora, juntando tudo:
W = [ -(1 - x)^412 + x^22 - x^33 ]0^1
Vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1.

Passo 9

Primeiro, avaliando em $ x = 1 $:
x = 1
Agora, avaliando em $ x = 0 $:
-(1 - 1)^412 + 1^22 - 1^33 = 0 + 12 - 13 = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Passo 10

Subtraindo os valores:
W = (16) - (-112) = 16 + 112 = 212 + 112 = 312 = 14

Resposta

O valor da integral dupla $ W $ é $ \frac{1}{4} $.

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