Calcule a integral
tomando para
, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio
, centrado em
;
de raio
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde o contorno
é o círculo de raio
centrado em
. O conteúdo-chave aqui é o Teorema dos Resíduos, que diz que essa integral vale
vezes a soma dos resíduos das singularidades internas a
.
Passo 2
Primeiro identificamos as singularidades da função
O denominador zera em
e em
, isto é,
e
. O círculo de centro
e raio
engloba apenas a singularidade em
, pois as outras estão a distâncias
e
.
Passo 3
Agora calculamos o resíduo em
usando a fórmula para polo simples:
Fatorando e avaliando em
dá
Passo 4
Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
Resposta
-\frac{\pi i}{2}e^{2i}