Calcule a integral
ointC e^z(z-i)(z^2+4) d z
tomando para C, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio 1 / 3, centrado em z=2 i;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
ointC e^z(z-i)(z^2+4),dz
onde o contorno C é o círculo de raio 1/3 centrado em z=2i. O conteúdo-chave aqui é o Teorema dos Resíduos, que diz que essa integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos das singularidades internas a C.

Passo 2

Primeiro identificamos as singularidades da função
f(z)=e^z(z-i)(z^2+4)
O denominador zera em z=i e em z^2+4=0, isto é, z=2i e z=-2i. O círculo de centro 2i e raio 1/3 engloba apenas a singularidade em z=2i, pois as outras estão a distâncias |2i-i|=1>1/3 e |2i+2i|=4>1/3.

Passo 3

Agora calculamos o resíduo em z=2i usando a fórmula para polo simples:
Res(f,2i)=limzto2i(z-2i)e^z(z-i)(z-2i)(z+2i)
Fatorando e avaliando em z=2i
Res(f,2i)=e^2i(2i - i)(2i + 2i)=e^2iicdot4i=e^2i4i^2=-e^2i4

Passo 4

Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
ointC f(z),dz=2pi icdotRes(f,2i)=2pi il(-e^2i4r)=-pi i2e^2i

Resposta

-\frac{\pi i}{2}e^{2i}

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