É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Seja F(x, y)=(x^2 y^3, x^3 y^2).
Verifique que o campo F é conservativo e determine uma função f tal que nabla f=F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial F(x, y) = (x^2 y^3, x^3 y^2) é conservativo e, se for, encontrar uma função f tal que nabla f = F. Estamos entrando no assunto de campos vetoriais conservativos, que estão ligados a conceitos de derivadas parciais e integração. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e como encontrar a função potencial f.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar f tal que F = nabla f. Isso significa que F pode ser obtido pelas derivadas parciais de f em relação a x e y.
Matematicamente, se F(x, y) = (P, Q), então para ser conservativo, deve-se cumprir:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Essa condição garante que o campo não tenha “circulação” e que exista uma função potencial f.

Passo 3

Vamos aplicar essa condição ao nosso campo F(x, y) = (x^2 y^3, x^3 y^2). Aqui, P = x^2 y^3 e Q = x^3 y^2.
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y^3) = 3x^2 y^2
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 y^2) = 3x^2 y^2
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial f tal que nabla f = F. Isso significa que:
partial fpartial x = P = x^2 y^3
partial fpartial y = Q = x^3 y^2
Começamos integrando P em relação a x para encontrar f:
f(x, y) = integral x^2 y^3 , dx = x^3 y^33 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Para determinar a função g(y), tomamos a derivada de f em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = partialpartial y ( x^3 y^33 + g(y) ) = x^3 y^2 + g'(y)
Igualando a Q:
x^3 y^2 + g'(y) = x^3 y^2
Isso implica que:
g'(y) = 0
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = C
onde C é uma constante de integração.

Resposta

A função potencial f que satisfaz nabla f = F é:
f(x, y) = x^3 y^33 + C
onde C é uma constante qualquer.

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