É proibido o uso de calculadora.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Seja
.
Verifique que o campo
é conservativo e determine uma função
tal que
.
Caso queira utilizar algum teorema que não tenha sido dado em aula, enuncie-o e demonstre-o.
Seja
Verifique que o campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, se for, encontrar uma função
tal que
. Estamos entrando no assunto de campos vetoriais conservativos, que estão ligados a conceitos de derivadas parciais e integração. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna um campo conservativo e como encontrar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que
pode ser obtido pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Matematicamente, se
, então para ser conservativo, deve-se cumprir:
Essa condição garante que o campo não tenha “circulação” e que exista uma função potencial
.
Passo 3
Vamos aplicar essa condição ao nosso campo
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto,
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Começamos integrando
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Para determinar a função
, tomamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma constante de integração.
Resposta
A função potencial
que satisfaz
é:
onde
é uma constante qualquer.