Calcule a integral.
∫_{π}^{2 π} cos θ d θ

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \cos\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos\theta.
  • Os limites de integração são a=\pi (inferior) e b=2\pi (superior).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da integral definida acima?

Passo 2

Lembrete importante (Teorema Fundamental do Cálculo, versão prática): se F é uma primitiva (antiderivada) de f, isto é, F'(\theta)=f(\theta), então
\int_{a}^{b} f(\theta)\,d\theta = F(b)-F(a).
Aqui:
  • f(\theta)=\cos\theta.
  • a=\pi e b=2\pi.
    Vou então encontrar uma primitiva F de f e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Qual é uma primitiva de \cos\theta? Conhecimento básico de derivadas de funções trigonométricas:
  • \dfrac{d}{d\theta}\big(\sin\theta\big)=\cos\theta.
    Portanto uma primitiva de \cos\theta é
F(\theta)=\sin\theta.
Aqui F'(\theta)=\cos\theta, exatamente o integrando.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(\theta)=\sin\theta:
\int_{\pi}^{2\pi} \cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{\theta=\pi}^{\theta=2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(\pi).
Agora avalio os senos nos pontos:
\sin(\pi)=0,\qquad \sin(2\pi)=0.
Logo
\sin(2\pi)-\sin(\pi)=0-0=0.

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora: a integral dá zero porque, ao longo do intervalo [\pi,2\pi], as áreas positivas e negativas sob a curva \cos\theta se cancelam (alternativamente, a integral de \cos\theta sobre um período inteiro ou sobre metades apropriadas do período frequentemente zera). Boa! Mais uma integral pronta — respira fundo, vai dar tudo certo na prova.

Resposta

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