Calcule a integral.
y=\int_{0}^{x^{4}} \cos ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado dá a função definida por uma integral com limite superior dependente de x:
y=\int_{0}^{x^{4}} \cos^{2}\theta\,d\theta.
O que o problema pede: calcular explicitamente y como função de x (ou seja, avaliar a integral definida em termos de x). As informações fornecidas são:
  • limite inferior da integral: 0;
  • limite superior da integral: x^{4};
  • integrando: \cos^{2}\theta, sendo \theta a variável dummy de integração.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando. A identidade do ângulo duplo para o cosseno é
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Desse modo, isolando \cos^{2}\theta,
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Explicando devagar: a equação acima vem de rearranjar \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1 somando 1 e dividindo por 2. Essa identidade é útil porque transforma a função quadrática \cos^{2} numa soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Substituir a identidade na integral e usar linearidade dos integrais (a integral da soma é a soma das integrais; constantes saem da integral):
y=\int_{0}^{x^{4}}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{4}}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{4}}\cos(2\theta)\,d\theta.
Agora vamos calcular cada parcela separadamente. A primeira parcela é simples: \int_{0}^{x^{4}}1\,d\theta representa a área de um retângulo de base x^{4}-0, então
\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{4}}1\,d\theta=\frac{1}{2}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{x^{4}}=\frac{1}{2}x^{4}.

Passo 4

Calcular a segunda parcela \frac{1}{2}\int_{0}^{x^{4}}\cos(2\theta)\,d\theta. Para integrar \cos(2\theta) usa-se a regra básica: a derivada de \sin(2\theta) é 2\cos(2\theta), logo
\int \cos(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta)+C.
Explicando: se F(\theta)=\sin(2\theta) então F'(\theta)=2\cos(2\theta), portanto para obter \cos(2\theta) basta dividir por 2. Aplicando aos limites e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{4}}\cos(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{x^{4}} =\frac{1}{4}\bigl(\sin(2x^{4})-\sin(0)\bigr) =\frac{1}{4}\sin(2x^{4}).
Aqui usei que \sin(0)=0.

Passo 5

Somando as duas parcelas obtidas:
y=\frac{1}{2}x^{4}+\frac{1}{4}\sin(2x^{4}).
Pronto — a integral definida foi avaliada em função de x. Isso é algo que dá para fazer na prova sem calculadora: usar a identidade trigonométrica e integrar termo a termo.

Resposta

y=\dfrac{1}{2}x^{4}+\dfrac{1}{4}\sin(2x^{4})

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