Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por uma integral com limite superior dependente de
:
O que o problema pede: calcular explicitamente
como função de
(ou seja, avaliar a integral definida em termos de
). As informações fornecidas são:
- limite inferior da integral:
; - limite superior da integral:
; - integrando:
, sendo a variável dummy de integração.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o integrando. A identidade do ângulo duplo para o cosseno é
Desse modo, isolando
,
Explicando devagar: a equação acima vem de rearranjar
somando
e dividindo por
. Essa identidade é útil porque transforma a função quadrática
numa soma de termos mais fáceis de integrar.
Passo 3
Substituir a identidade na integral e usar linearidade dos integrais (a integral da soma é a soma das integrais; constantes saem da integral):
Agora vamos calcular cada parcela separadamente. A primeira parcela é simples:
representa a área de um retângulo de base
, então
Passo 4
Calcular a segunda parcela
. Para integrar
usa-se a regra básica: a derivada de
é
, logo
Explicando: se
então
, portanto para obter
basta dividir por
. Aplicando aos limites e multiplicando pelo fator
:
Aqui usei que
.
Passo 5
Somando as duas parcelas obtidas:
Pronto — a integral definida foi avaliada em função de
. Isso é algo que dá para fazer na prova sem calculadora: usar a identidade trigonométrica e integrar termo a termo.