Calcule a integral.
∫_{0}^{π / 4} sec θ tg θ d θ
∫_{0}^{π / 4} sec θ tg θ d θ
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
. - Lembrete útil (definições básicas que aparecem aqui):
-
. -
.
-
Passo 2
Escolha do método: há duas maneiras simples e equivalentes para essa integral:
- Reconhecer que
é a derivada de (método de reconhecimento de primitiva). - Fazer a substituição
(método de substituição).
Vou usar o método 1 porque é o mais direto aqui, mas depois mostro o método 2 para fixar o entendimento.
Passo 3
Aula rápida: por que
?
- Escrever
. - Aplicar a regra da derivada de potência e a regra da cadeia:
- Como
, segue - Reescrevendo
.
Portanto, a primitiva (antiderivada) deé mais uma constante:
Passo 4
Teorema fundamental do cálculo (recap): se
, então
Aqui
e podemos tomar
. Assim
Passo 5
Calcular os valores nas extremidades:
-
, então -
, logo .
Passo 6
Substituir na fórmula do Passo 4:
Passo 7
(Verificação extra — método da substituição, para fixar)
- Começar escrevendo a integranda como
porque . - Fazer
. Então , ou . - A integral fica
- Voltando para
: . Portanto obtém-se a mesma primitiva e o mesmo resultado numérico para a integral definida.