Calcule a integral.
∫_{0}^{π / 4} sec θ tg θ d θ

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são \theta=0 e \theta=\pi/4.
  • A função integranda é \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta.
  • Lembrete útil (definições básicas que aparecem aqui):
    • \operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}.
    • \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.

Passo 2

Escolha do método: há duas maneiras simples e equivalentes para essa integral:
  1. Reconhecer que \operatorname{sec}\theta\tan\theta é a derivada de \operatorname{sec}\theta (método de reconhecimento de primitiva).
  2. Fazer a substituição u=\cos\theta (método de substituição).
    Vou usar o método 1 porque é o mais direto aqui, mas depois mostro o método 2 para fixar o entendimento.

Passo 3

Aula rápida: por que \dfrac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta?
  • Escrever \operatorname{sec}\theta = (\cos\theta)^{-1}.
  • Aplicar a regra da derivada de potência e a regra da cadeia: \frac{d}{d\theta}(\cos\theta)^{-1} = -1\cdot(\cos\theta)^{-2}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta).
  • Como \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta = -\sin\theta, segue \frac{d}{d\theta}(\cos\theta)^{-1} = -(\cos\theta)^{-2}\cdot(-\sin\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.
  • Reescrevendo \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \operatorname{sec}\theta\tan\theta.
    Portanto, a primitiva (antiderivada) de \operatorname{sec}\theta\tan\theta é \operatorname{sec}\theta mais uma constante:
\int \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta + C.

Passo 4

Teorema fundamental do cálculo (recap): se F'(\theta)=f(\theta), então
\int_{a}^{b} f(\theta)\,d\theta = F(b)-F(a).
Aqui f(\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta e podemos tomar F(\theta)=\operatorname{sec}\theta. Assim
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \big[\operatorname{sec}\theta\big]_{0}^{\pi/4} = \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \operatorname{sec}(0).

Passo 5

Calcular os valores nas extremidades:
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
  • \cos(0)=1, logo \operatorname{sec}(0)=1.

Passo 6

Substituir na fórmula do Passo 4:
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \sqrt{2}-1.

Passo 7

(Verificação extra — método da substituição, para fixar)
  • Começar escrevendo a integranda como \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} porque \operatorname{sec}\theta\tan\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.
  • Fazer u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, ou \sin\theta\,d\theta=-du.
  • A integral fica \int \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2}\,du = -\big(-u^{-1}\big)+C = \frac{1}{u}+C.
  • Voltando para \theta: \dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta. Portanto obtém-se a mesma primitiva e o mesmo resultado numérico para a integral definida.

Resposta

\sqrt{2}-1

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